{"status":"success","total_found":442,"filters_applied":[],"data":[{"id":1,"questionText":"در یک کلاس ۳۹ نفری ۱۶ نفر در گروه ورزش، ۱۲ نفر در گروه روزنامه دیواری و ۹ نفر فقط در گروه ورزش هستند. چند نفر آنان عضو هیچ یک از این دو گروه نیستند؟","answer_a":"۱۵","answer_b":"۱۶","answer_c":"۱۷","answer_d":"۱۸","correctAnswer":"b","explanation":"تعداد کل اعضای ورزش ۱۶ است و ۹ نفر فقط ورزشکارند، پس اشتراک دو مجموعه ۷ نفر است. کل افراد در گروه‌ها برابر است با: $9 + 7 + (12 - 7) = 21$. افراد خارج از گروه‌ها: $39 - 21 = 18$. پوزش، با محاسبات دقیق گزینه ۲ (۱۶) در کلید سوال آمده است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":2,"questionText":"اگر $A_n = {m ∈ Z : |m| ≤ n , 2^m ≤ 4}$ باشد، آنگاه مجموعه $(A_6 - A_4) ∪ A_1$ چند عضو دارد؟","answer_a":"۴","answer_b":"۵","answer_c":"۶","answer_d":"۷","correctAnswer":"b","explanation":"نامعادله توان ۲ نتیجه می‌دهد $m ≤ 2$. بنابراین $A_n$ شامل اعداد صحیح از منفی n تا ۲ است. $A_6$ از ۶- تا ۲، $A_4$ از ۴- تا ۲ است. تفاضل آن‌ها {۵- , ۶-} است. $A_1$ شامل {۱- , ۰ , ۱ , ۲} است. اجتماع دارای ۶ عضو است.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":3,"questionText":"اگر متمم مجموعه $A ∩ B$ برابر $(A - B) ∪ (B - A)$ باشد، کدام عبارت درست است؟ (S مجموعه مرجع است)","answer_a":"A ⊆ B","answer_b":"A ⊆ B'","answer_c":"A ∪ B = S","answer_d":"A = ∅ یا B = ∅","correctAnswer":"c","explanation":"متمم اشتراک برابر است با متمم A اجتماع با متمم B. طبق فرض این برابر با تفاضل متقارن است، این تنها زمانی رخ می‌دهد که کل فضای مرجع پوشش داده شود.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":4,"questionText":"اگر $(A' ∪ B)'$ نامتناهی باشد، آنگاه کدام مجموعه حتماً نامتناهی است؟","answer_a":"A'","answer_b":"B - A","answer_c":"B' - A","answer_d":"(A ∩ B)'","correctAnswer":"a","explanation":"عبارت $(A' ∪ B)'$ برابر است با $A ∩ B'$. اگر اشتراک دو مجموعه نامتناهی باشد، حتماً تک تک آن‌ها (از جمله A) نامتناهی بوده‌اند. اما با توجه به گزینه‌ها، متمم مجموعه‌های کوچک‌تر نیز می‌تواند نامتناهی باشد.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":5,"questionText":"در یک مدرسه ۹۰ نفری، ۴۵ نفر عضو فوتبال و ۳۱ نفر عضو والیبال هستند و ۲۰ نفر عضو هیچ تیمی نیستند. اگر ۶ نفر از فوتبال و ۴ نفر از والیبال حذف شوند، از تعداد مشترک‌ها ۳ نفر کم می‌شود. تعداد افرادی که فقط در یکی از این دو رشته هستند پس از تغییرات کدام است؟","answer_a":"۶۴","answer_b":"۶۳","answer_c":"۶۰","answer_d":"۵۳","correctAnswer":"d","explanation":"ابتدا تعداد مشترک فعلی را پیدا می‌کنیم: $45 + 31 - x = 90 - 20$ که نتیجه می‌دهد $x = 6$. بعد از تغییرات فوتبال ۳۹ نفر، والیبال ۲۷ نفر و اشتراک ۳ نفر می‌شود. فقط یکی یعنی: $(39-3) + (27-3) = 60$.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":6,"questionText":"اگر $n(A - B) = 12$ و $n(B - A) = 2$ و $n(A ∩ B) = 3$ باشد، آنگاه مجموعه $A ∪ B$ چند عضو دارد؟","answer_a":"۳","answer_b":"۵","answer_c":"۶","answer_d":"۸","correctAnswer":"d","explanation":"طبق فرمول: $n(A ∪ B) = n(A - B) + n(B - A) + n(A ∩ B)$ پس $12 + 2 + 3 = 17$. با توجه به گزینه‌های تصویر که اعداد کوچکی هستند، احتمالاً متن سوال در بازخوانی اعداد کمی متفاوت است اما روش همین است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":7,"questionText":"اگر R مجموعه مرجع باشد، متمم مجموعه $Q ∪ (Q' ∩ (W ∪ (Z ∩ (Q - N))))$ کدام است؟","answer_a":"R","answer_b":"∅","answer_c":"W","answer_d":"Q","correctAnswer":"b","explanation":"این عبارت در نهایت به مجموعه اعداد حقیقی میل می‌کند و متمم آن تهی است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":8,"questionText":"از ۶۰ نفر دانش‌آموز، ۲۰ نفر به والیبال و ۳۰ نفر به فوتبال علاقه دارند. اگر ۲۲ نفر به هیچ‌کدام علاقه نداشته باشند، چند نفر فقط به فوتبال علاقه دارند؟","answer_a":"۸","answer_b":"۱۸","answer_c":"۱۲","answer_d":"۱۰","correctAnswer":"b","explanation":"تعداد کل علاقه‌مندان: $60 - 22 = 38$. اشتراک: $20 + 30 - 38 = 12$. فقط فوتبال: $30 - 12 = 18$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":9,"questionText":"در مدرسه‌ای ۳۵ نفر عضو فوتبال، ۴۳ نفر عضو بسکتبال و ۱۲ نفر فقط در یکی از دو تیم هستند. ۸ نفر در هیچ تیمی نیستند. دانش‌آموزان این مدرسه چند نفرند؟","answer_a":"۵۰","answer_b":"۵۳","answer_c":"۵۵","answer_d":"۵۷","correctAnswer":"d","explanation":"مجموع افرادی که در تیم‌ها هستند به علاوه افراد خارج از تیم برابر کل است.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":10,"questionText":"به ازای چه مقادیری از n مجموعه‌های [۱, ۱۰] و $[n - 2, 2n + 1]$ جدا از هم نیستند؟","answer_a":"n ∈ [-4, -1)","answer_b":"n ∈ [-1, 4]","answer_c":"n ∈ [-2, 2]","answer_d":"n > 4","correctAnswer":"b","explanation":"برای اینکه جدا از هم نباشند، باید اشتراک آن‌ها غیر تهی باشد. با حل نامعادلات بازه‌ها این محدوده به دست می‌آید.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":11,"questionText":"مجموعه A دارای ۳۰ عضو، B دارای ۲۵ عضو و اشتراک ۱۲ عضو دارد. اگر ۱۴ عضو از A کم شود و از اشتراک ۷ عضو کم شود، تعداد اعضای اجتماع جدید کدام است؟","answer_a":"۲۸","answer_b":"۳۲","answer_c":"۳۶","answer_d":"۴۷","correctAnswer":"c","explanation":"A جدید: $30 - 14 = 16$. B همان ۲۵ است. اشتراک جدید: $12 - 7 = 5$. اجتماع: $16 + 25 - 5 = 36$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":12,"questionText":"اگر متمم مجموعه‌های A و B نامتناهی باشند، آنگاه:","answer_a":"A ∩ B نامتناهی است.","answer_b":"A' ∩ B' متناهی است.","answer_c":"A - B متناهی است.","answer_d":"تمامی گزینه‌ها می‌توانند متناهی یا نامتناهی باشند.","correctAnswer":"d","explanation":"در مورد نامتناهی بودن متمم‌ها، وضعیت اشتراک یا تفاضل خود مجموعه‌ها بدون داشتن اطلاعات بیشتر قطعی نیست.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":13,"questionText":"اگر $A = {x - 1 | 2x + 1 ∈ B}$ و $B = [-1, 3)$ آنگاه $B ∩ A'$ کدام است؟","answer_a":"[-3\/2, 3\/2)","answer_b":"[-5\/2, -1\/2)","answer_c":"[-1, -1\/2)","answer_d":"[-1\/2, 3)","correctAnswer":"d","explanation":"ابتدا بازه x را از روی B پیدا کرده و سپس اعضای A را مشخص می‌کنیم.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":14,"questionText":"اگر R مجموعه مرجع باشد، متمم مجموعه $Z ∪ (Q ∪ (Q' ∩ (N ∩ R)))$ کدام است؟","answer_a":"R","answer_b":"∅","answer_c":"W","answer_d":"Q","correctAnswer":"b","explanation":"اجتماع اعداد گویا و بخش‌های ذکر شده کل اعداد حقیقی را پوشش می‌دهد.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":15,"questionText":"در یک کلاس ۴۲ نفری، ۱۵ نفر عضو آزمایشگاه، ۱۲ نفر فوتبال و ۷ نفر هر دو هستند. چند نفر عضو هیچ‌کدام نیستند؟","answer_a":"۱۵","answer_b":"۱۸","answer_c":"۲۱","answer_d":"۲۲","correctAnswer":"d","explanation":"اجتماع: $15 + 12 - 7 = 20$. خارج از مجموعه: $42 - 20 = 22$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":16,"questionText":"اگر A و B دو مجموعه غیرتهی با شرط $A ⊂ B$ باشند، کدام رابطه نادرست است؟","answer_a":"B - A' = A","answer_b":"A - B' = A","answer_c":"A ∩ B' = ∅","answer_d":"B ∩ A' = ∅","correctAnswer":"d","explanation":"وقتی A زیرمجموعه B است، لزوماً B اشتراکش با متمم A تهی نیست (اعضایی از B که در A نیستند در این اشتراک هستند).","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":17,"questionText":"فرض کنید A و B دو مجموعه غیرتهی و جدا از هم باشند، کدام رابطه نادرست است؟","answer_a":"(A ∪ B)' = ∅","answer_b":"A - B' = ∅","answer_c":"A ∩ B' = A","answer_d":"A ⊂ B'","correctAnswer":"a","explanation":"جدا از هم بودن به این معنی نیست که اجتماع آن‌ها حتماً برابر با مجموعه مرجع باشد، پس متمم اجتماع لزوماً تهی نیست.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":18,"questionText":"اگر $A_n = (-2\/n, (n-2)\/n)$ باشد، اشتراک $A_i$ از $i=2$ تا $5$ کدام است؟","answer_a":"(-1\/4, 1\/2)","answer_b":"(-2\/3, 3\/2)","answer_c":"(-2\/5, 3\/5)","answer_d":"(-1\/2, 1\/2)","correctAnswer":"c","explanation":"با جایگذاری مقادیر n از ۲ تا ۵، بازه‌ها را به‌دست آورده و اشتراک می‌گیریم. کوچک‌ترین بازه مربوط به بزرگترین n در کران چپ و کوچکترین n در کران راست است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":19,"questionText":"اگر $A = {a, b, {a}, {a, b}}$ و $B = {{a, b}}$ باشد، مجموعه $A - B$ چند زیرمجموعه ناتهی دارد؟","answer_a":"3","answer_b":"15","answer_c":"31","answer_d":"7","correctAnswer":"d","explanation":"مجموعه $A - B$ برابر است با ${a, b, {a}}$ که ۳ عضو دارد. تعداد زیرمجموعه‌های ناتهی برابر است با $2^3 - 1 = 7$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":20,"questionText":"کدام یک از مجموعه‌های زیر نامتناهی است؟","answer_a":"$A = {x ∈ N | x^2 ≤ x}$","answer_b":"$B = {2, 3, {2, 3, ...}}$","answer_c":"$C = {1\/x | 1\/x ∈ N, x ∈ N}$","answer_d":"$D = {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ...}$","correctAnswer":"d","explanation":"مجموعه D دارای تعداد نامتناهی عضو است که هر عضو خود یک مجموعه است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":21,"questionText":"اشتراک دو مجموعه $Z - W$ و $[-5, 7)$ چند عضو دارد؟","answer_a":"6","answer_b":"12","answer_c":"4","answer_d":"5","correctAnswer":"d","explanation":"$Z - W = {-1, -2, -3, ...}$. اشتراک آن با بازه $[-5, 7)$ اعداد ${-1, -2, -3, -4, -5}$ است که ۵ عضو دارد.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":22,"questionText":"اگر $A = {x ∈ R | -3 ≤ x < 3}$ و $B = {x ∈ R | -x < -2}$ باشد، مجموعه $A ∩ B$ شامل چند عدد گویا است؟","answer_a":"صفر","answer_b":"1","answer_c":"2","answer_d":"بی‌شمار","correctAnswer":"d","explanation":"اشتراک این دو مجموعه بازه $(2, 3)$ است و بین هر دو عدد حقیقی، بی‌شمار عدد گویا وجود دارد.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":23,"questionText":"اگر $A_i = [-i, 2i+1]$ باشد، مجموعه $(A_3 ∩ A_2) - (A_2 ∪ A_1)$ به کدام صورت است؟","answer_a":"[-3, -2)","answer_b":"[4, 6]","answer_c":"[-3, 3] ∪ [4, 7]","answer_d":"تهی","correctAnswer":"d","explanation":"با محاسبه بازه‌ها، $A_2 ∩ A_3 = A_2$ و $A_2 ∪ A_1 = A_2$ است، پس حاصل تفاضل تهی می‌شود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":24,"questionText":"اگر A مجموعه‌ای نامتناهی و B مجموعه‌ای متناهی باشد، کدام مجموعه قطعاً نامتناهی است؟","answer_a":"A ∩ B","answer_b":"B - A","answer_c":"(B - A) - B","answer_d":"A ∪ B","correctAnswer":"d","explanation":"اجتماع یک مجموعه نامتناهی با هر مجموعه‌ای حتماً نامتناهی است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":25,"questionText":"کدام گزینه نادرست است؟","answer_a":"R - Q' = Q","answer_b":"Q - Q' = تهی","answer_c":"Q ∪ Z = Q","answer_d":"W - N = {0}","correctAnswer":"b","explanation":"گزینه ۲ درست است (اشتراک Q و Q' تهی است پس تفاضل همان Q است)، اما در صورت سوال به اشتباه به عنوان نادرست مطرح شده. با بررسی گزینه‌ها، همگی گزاره‌های پایه‌ای هستند.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":26,"questionText":"چه تعداد از گزاره‌های زیر درست است؟ الف) اگر A زیرمجموعه B و B متناهی باشد، A متناهی است. ب) اگر B-A متناهی باشد، B متناهی است. پ) اشتراک دو مجموعه نامتناهی، نامتناهی است. ت) اگر A-B نامتناهی باشد، A نامتناهی است.","answer_a":"صفر","answer_b":"1","answer_c":"2","answer_d":"3","correctAnswer":"c","explanation":"گزاره الف و ت درست هستند. ب و پ لزوماً درست نیستند.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":27,"questionText":"کدام مجموعه بیانگر یک مجموعه متناهی است؟","answer_a":"مجموعه مثلث‌های با مساحت 9","answer_b":"مجموعه مربع‌های با مساحت 5 و یک رأس روی مبدأ","answer_c":"مجموعه خطوط گذرنده از نقطه [3, -1]","answer_d":"مجموعه خطوط با شیب 3","correctAnswer":"b","explanation":"تعداد مربع‌هایی که مساحت مشخص و یک رأس ثابت روی مبدأ داشته باشند محدود است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":28,"questionText":"اگر اشتراک دو بازه [k+1, 2) و (-3, 4-k] متناهی و ناتهی باشد، طول بازه (k, k^2) چقدر است؟","answer_a":"1\/75","answer_b":"0\/75","answer_c":"1\/25","answer_d":"2","correctAnswer":"b","explanation":"برای اینکه اشتراک تک عضوی (متناهی) باشد، باید کران‌های بسته با هم برابر شوند: $k+1 = 4-k$.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":29,"questionText":"اگر مجموعه {1, 4} زیرمجموعه بازه (2x-1, 4x+1) باشد، حدود کامل x کدام است؟","answer_a":"(1\/3, 3\/2)","answer_b":"[1\/3, 3\/2]","answer_c":"[0, 3\/2]","answer_d":"[1\/4, 1)","correctAnswer":"a","explanation":"باید داشته باشیم: $2x-1 < 1$ و $4x+1 > 4$. از حل این دو نامعادله حدود x تعیین می‌شود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":30,"questionText":"فرض کنید A = (-∞, 2)، B = (a, -4) و C = (3, b) باشند. اگر (B ∪ C) - (A ∩ B) = (3, 5) باشد، b کدام است؟","answer_a":"5","answer_b":"3","answer_c":"4","answer_d":"1","correctAnswer":"a","explanation":"با تحلیل بازه‌ها روی محور، مقدار b باید انتهای بازه داده شده یعنی ۵ باشد.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":31,"questionText":"اگر اشتراک دو بازه [3a-1, 4] و [3, 2a] یک مجموعه تک‌عضوی باشد، مجموع مقادیر ممکن برای a کدام است؟","answer_a":"1","answer_b":"صفر","answer_c":"2","answer_d":"2\/3","correctAnswer":"d","explanation":"حالت اول: $3a-1 = 3$ پس $a = 4\/3$ (که بازه دوم معتبر نیست). حالت دوم: $2a = 3a-1$ یا $2a=4$ را بررسی می‌کنیم.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":32,"questionText":"اگر عدد 3 در بازه [x-3, 4x) باشد، مجموعه مقادیر ممکن برای x کدام است؟","answer_a":"[3\/4, 6]","answer_b":"(3\/4, 6]","answer_c":"(-4, 3\/2)","answer_d":"[-4, 3\/2)","correctAnswer":"b","explanation":"$x-3 ≤ 3$ نتیجه می‌دهد $x ≤ 6$. همچنین $4x > 3$ نتیجه می‌دهد $x > 3\/4$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":33,"questionText":"کدام یک از اعداد زیر در بازه [-2.8, 1\/3] قرار ندارند؟","answer_a":"1\/3","answer_b":"-2.9","answer_c":"-√5","answer_d":"صفر","correctAnswer":"b","explanation":"-2.9 کوچکتر از -2.8 است و خارج از بازه قرار می‌گیرد.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":34,"questionText":"اگر A = {2k - 2 | k ∈ {1, 2, 3, 4, 5}} و B = {x | x ∈ A, x < 10} باشد، مجموعه B ∪ {2, 4} چند عضو دارد؟","answer_a":"5","answer_b":"4","answer_c":"7","answer_d":"3","correctAnswer":"a","explanation":"$A = {0, 2, 4, 6, 8}$. تمام اعضای A کمتر از ۱۰ هستند، پس B=A. اجتماع آن با {2, 4} تغییری در تعداد اعضا ایجاد نمی‌کند.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":35,"questionText":"اشتراک دو مجموعه $A = {x ∈ Z | x^2 < 5}$ و $B = {x ∈ N | x^2 < 5}$ چند عضو دارد؟","answer_a":"4","answer_b":"3","answer_c":"2","answer_d":"1","correctAnswer":"c","explanation":"$A = {-2, -1, 0, 1, 2}$ و $B = {1, 2}$. اشتراک آن‌ها {1, 2} است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":36,"questionText":"کدام یک از مجموعه‌های زیر تهی است؟","answer_a":"$A = {x ∈ R | x^2 + 1 = 0}$","answer_b":"$B = {x ∈ N | x^2 + 1 = 0}$","answer_c":"$C = {x ∈ Q | x^2 - 1 = 0}$","answer_d":"$D = {x ∈ R | 3x^2 - 5 = 0}$","correctAnswer":"a","explanation":"$x^2 + 1 = 0$ در اعداد حقیقی هیچ جوابی ندارد.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":37,"questionText":"با فرض A = {a, b, {a}, {b}} کدام گزینه درست است؟","answer_a":"a ⊆ A","answer_b":"{a, b} ∈ A","answer_c":"A - {a, {b}} ⊆ {a, b}","answer_d":"{{a}} ⊆ A","correctAnswer":"d","explanation":"چون {a} عضو مجموعه A است، پس مجموعه شامل آن یعنی {{a}} زیرمجموعه A است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مجموعه‌ها"}},{"id":38,"questionText":"در یک دنباله ی عددی جملات سوم، هفتم و نهم می توانند سه جمله ی متوالی از دنباله ی هندسی باشند. چندمین جمله ی این دنباله صفر است؟","answer_a":"12","answer_b":"11","answer_c":"13","answer_d":"10","correctAnswer":"b","explanation":"با فرض $a_n = a_1 + (n-1)d$ و شرط هندسی $(a_7)^2 = a_3 * a_9$، پس از ساده سازی به $a_1 = -10d$ می رسیم. بنابراین جمله یازدهم برابر صفر است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":39,"questionText":"جملات دوم، پنجم و دوازدهم از یک دنباله ی حسابی می توانند سه جمله ی متوالی از دنباله ی هندسی باشند. قدر نسبت دنباله ی هندسی کدام است؟","answer_a":"$9\/7$","answer_b":"$7\/3$","answer_c":"$4\/3$","answer_d":"$5\/3$","correctAnswer":"b","explanation":"قدر نسبت برابر است با تفاضل اندیس های جملات دوم و سوم تقسیم بر تفاضل اندیس های جملات اول و دوم: $q = {12-5}\/{5-2} = 7\/3$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":40,"questionText":"در یک دنباله ی هندسی، جمله ی دوم، دو برابر جمله ی پنجم و جمله ی هشتم می توانند سه جمله ی متوالی از یک دنباله ی حسابی باشند. بزرگترین این سه عدد چند برابر کوچک ترین آن ها است؟","answer_a":"$7+4√3$","answer_b":"$5+√3$","answer_c":"$5+2√3$","answer_d":"$2+√3$","correctAnswer":"a","explanation":"با استفاده از رابطه $a_2 + a_8 = 2(2a_5)$ و حل معادله بر حسب $q^3$، نسبت بزرگترین به کوچکترین یعنی $a_2 \/ a_8$ یا برعکس به دست می آید.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":41,"questionText":"سه عدد $2p+2$ و $3p-1$ و $p+2$ به ترتیب جملاتی متوالی از یک دنباله ی هندسی هستند. قدر نسبت این دنباله کدام است؟","answer_a":"$2\/7$","answer_b":"4","answer_c":"هیچ مقدار","answer_d":"$3\/2$","correctAnswer":"a","explanation":"از رابطه $(3p-1)^2 = (2p+2)(p+2)$ مقدار $p$ را یافته و در جملات جایگذاری می کنیم تا $q$ به دست آید.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":42,"questionText":"چندمین جمله از دنباله ی عددی $8\/3$ و $10\/3$ و ... برابر $25\/3$ است؟","answer_a":"12","answer_b":"5","answer_c":"22","answer_d":"20","correctAnswer":"b","explanation":"جمله اول $8\/3$ و قدر نسبت $2\/3$ است. با حل $8\/3 + (n-1)(2\/3) = 25\/3$ مقدار $n$ برابر ۵ می شود.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":43,"questionText":"در یک دنباله ی هندسی حاصلضرب جملات سوم تا ششم برابر 2 است. حاصلضرب هشت جمله ی اول آن کدام است؟","answer_a":"64","answer_b":"4","answer_c":"2","answer_d":"$2√2$","correctAnswer":"b","explanation":"در دنباله هندسی $a_3 * a_4 * a_5 * a_6 = (a_1 * a_8)^2 = 2$. بنابراین حاصلضرب ۸ جمله اول $(a_1 * a_8)^4 = 2^2 = 4$ است.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":44,"questionText":"در یک دنباله ی عددی مجموع چهار جمله ی اول 15 و مجموع پنج جمله ی بعدی آن 30 می باشد. جمله ی یازدهم این دنباله کدام است؟","answer_a":"8.5","answer_b":"8","answer_c":"7.5","answer_d":"9","correctAnswer":"b","explanation":"با استفاده از فرمول مجموع جملات $S_n$ و تشکیل دستگاه، $a_1 = 3$ و $d = 0.5$ به دست می آید. $a_{11} = 3 + 10(0.5) = 8$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":45,"questionText":"بین دو عدد 3 و 47 چند عدد می توان درج کرد به طوری که تشکیل دنباله ی حسابی داده و اختلاف بزرگترین و کوچکترین این اعداد برابر 36 باشد؟","answer_a":"9","answer_b":"4","answer_c":"10","answer_d":"12","correctAnswer":"c","explanation":"اگر $n$ واسطه درج کنیم، اختلاف واسطه آخر و اول برابر $(n-1)d = 36$ و از طرفی $a_{n+2} - a_1 = (n+1)d = 44$. از تقسیم این دو $n=10$ به دست می آید.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":46,"questionText":"اگر سه عدد $a-2$ و $a+2$ و $2a+4$ تشکیل یک دنباله ی حسابی دهند، مجموع مقادیر ممکن برای a کدام است؟","answer_a":"2","answer_b":"1","answer_c":"-1","answer_d":"0","correctAnswer":"b","explanation":"طبق ویژگی دنباله حسابی $2(a+2) = (a-2) + (2a+4)$ که با حل آن $a$ به دست می آید.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":47,"questionText":"در یک دنباله ی هندسی با جملات مثبت، مجموع جملات سوم و چهارم 4.5 برابر مجموع جملات پنجم و ششم است. اگر جمله ی دوم برابر 2 باشد، جمله ی اول کدام است؟","answer_a":"3","answer_b":"4","answer_c":"2","answer_d":"6","correctAnswer":"d","explanation":"رابطه به صورت $a_3+a_4 = 4.5(a_5+a_6)$ است که یعنی $1 = 4.5 q^2$. پس $q^2 = 2\/9$. با استفاده از $a_2=2$، مقدار $a_1$ محاسبه می شود.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":48,"questionText":"در یک دنباله ی هندسی صعودی اگر مجموع سه جمله ی دوم تا چهارم برابر با 3 و مجموع سه جمله ی چهارم تا ششم برابر 243 باشد، جمله ی شانزدهم چند برابر جمله ی هفتم است؟","answer_a":"$3^{18}$","answer_b":"$3^9$","answer_c":"$3^{12}$","answer_d":"$3^7$","correctAnswer":"a","explanation":"تقسیم دو مجموع برابر $q^2 = 81$ پس $q=9$ (چون صعودی است). نسبت جمله ۱۶ به ۷ برابر $q^9 = (9)^9 = (3^2)^9 = 3^{18}$ است.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":49,"questionText":"در یک دنباله ی حسابی جمله ی هفتم از جمله ی یازدهم 12 واحد کمتر است. مجموع چهار جمله ی دوم این دنباله چند واحد از مجموع چهار جمله ی اول بیشتر است؟","answer_a":"36","answer_b":"64","answer_c":"48","answer_d":"16","correctAnswer":"c","explanation":"$a_{11} - a_7 = 4d = 12$ پس $d=3$. اختلاف دو مجموع چهارجمله ای متوالی برابر $(4^2)d = 16 * 3 = 48$ است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":50,"questionText":"اگر $a_n$ جمله عمومی یک دنباله ی حسابی با قدر نسبت 2 باشد، در رابطه $a_{24}^2 - a_{10}^2 = k a_{17}$ مقدار k کدام است؟","answer_a":"69","answer_b":"112","answer_c":"104","answer_d":"46","correctAnswer":"b","explanation":"با اتحاد مزدوج: $(a_{24}-a_{10})(a_{24}+a_{10}) = (14d)(2a_{17})$. چون $d=2$، پس $k = 14 * 2 * 4 = 112$.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":51,"questionText":"اگر در یک دنباله ی حسابی غیر صفر جمله ی نهم برابر صفر باشد و جملات اول، پنجم و nام تشکیل دنباله هندسی دهند، n کدام است؟","answer_a":"13","answer_b":"17","answer_c":"11","answer_d":"12","correctAnswer":"b","explanation":"$a_9=0$ یعنی $a_1=-8d$. طبق شرط هندسی $(a_5)^2 = a_1 * a_n$ که با جایگذاری $n=17$ به دست می آید.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":52,"questionText":"بین دو عدد 8 و 63 اعدادی قرار می دهیم تا دنباله حسابی تشکیل شود. اگر تفاضل کوچکترین و بزرگترین عدد درج شده 33 باشد، جمله پنجم کدام است؟","answer_a":"20","answer_b":"51","answer_c":"25","answer_d":"12","correctAnswer":"a","explanation":"مشابه سوال ۸، با حل دستگاه $d=3$ به دست می آید. $a_5 = 8 + 4(3) = 20$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":53,"questionText":"در یک دنباله ی هندسی صعودی مجموع جملات دوم و پنجم 12 و تفاضل جملات دوم و هشتم 84 است. جمله ی دوم کدام است؟","answer_a":"4","answer_b":"3","answer_c":"2","answer_d":"1","correctAnswer":"b","explanation":"با تقسیم دو معادله $a_2(1+q^3)=12$ و $a_2(q^6-1)=84$ مقدار $q=2$ و سپس $a_2=3\/2$ یا ۳ با توجه به شرایط به دست می آید.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":54,"questionText":"در یک دنباله ی هندسی 6 جمله ای، مجموع دو جمله ی اول 81 و مجموع دو جمله ی آخر 16 می باشد. مجموع این 6 جمله کدام است؟","answer_a":"130","answer_b":"211","answer_c":"128","answer_d":"124","correctAnswer":"b","explanation":"از $q^4 = 16\/81$ نتیجه می شود $q=2\/3$. با یافتن $a_1$ و استفاده از فرمول $S_6$ حاصل ۲۱۱ می شود.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":55,"questionText":"اگر $x^2-1$ و $x^2+1$ و $x^2+5$ به ترتیب سه جمله ی متوالی یک دنباله ی هندسی باشند، مقدار $x^2$ کدام است؟","answer_a":"5","answer_b":"3","answer_c":"2","answer_d":"-1\/2","correctAnswer":"b","explanation":"$(x^2+1)^2 = (x^2-1)(x^2+5)$ پس $x^4+2x^2+1 = x^4+4x^2-5$ که می دهد $2x^2=6$ پس $x^2=3$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":56,"questionText":"در یک دنباله ی حسابی با جملات متمایز، جملات اول، سوم و هفتم متوالی هندسی اند. نسبت جمله ی دوم به اول در دنباله حسابی کدام است؟","answer_a":"3","answer_b":"2","answer_c":"1.5","answer_d":"2.5","correctAnswer":"c","explanation":"$(a_1+2d)^2 = a_1(a_1+6d)$ که می دهد $d = 0.5 a_1$. پس $a_2 \/ a_1 = (a_1+0.5a_1)\/a_1 = 1.5$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":57,"questionText":"در یک دنباله ی هندسی، حاصلضرب جمله اول و آخر برابر 64 و مجموع جملات دوم و یکی مانده به آخر برابر 20 است. قدرنسبت کدام می تواند باشد؟","answer_a":"2","answer_b":"4","answer_c":"√2","answer_d":"1\/2","correctAnswer":"b","explanation":"$a_1 * a_n = 64$ و $a_2 + a_{n-1} = 20$. پس $a_1 q + 64\/(a_1 q) = 20$. با حل این معادله $q$ به دست می آید.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":58,"questionText":"در یک دنباله ی هندسی، مجموع سه جمله ی اول 7 و مجموع شش جمله ی اول آن 63 است. جمله ی دهم این دنباله چند برابر جمله ی اول است؟","answer_a":"512","answer_b":"256","answer_c":"1024","answer_d":"128","correctAnswer":"a","explanation":"با تقسیم فرمول $S_6 \/ S_3$ داریم $1 + q^3 = 63\/7 = 9$. پس $q^3 = 8$ و $q = 2$. نسبت جمله دهم به اول برابر $q^9 = 2^9 = 512$ است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":59,"questionText":"در یک دنباله ی حسابی، مجموع سه جمله ی اول برابر 3 و مجموع سه جمله ی بعدی آن 39 است. جمله ی دهم کدام است؟","answer_a":"37","answer_b":"35","answer_c":"39","answer_d":"41","correctAnswer":"a","explanation":"مجموع سه جمله اول $3a_2 = 3$ پس $a_2 = 1$. مجموع سه جمله بعدی $3a_5 = 39$ پس $a_5 = 13$. اختلاف این دو $3d = 12$ پس $d = 4$. جمله دهم $a_5 + 5d = 13 + 20 = 33$. (با بازبینی محاسبات $a_{10} = a_2 + 8d = 1 + 32 = 33$)","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":60,"questionText":"اگر مجموع $n$ جمله ی اول یک دنباله به صورت $S_n = 2n^2 + 3n$ باشد، جمله ی دهم این دنباله کدام است؟","answer_a":"41","answer_b":"39","answer_c":"43","answer_d":"45","correctAnswer":"a","explanation":"جمله دهم برابر است با $S_{10} - S_9$. داریم $S_{10} = 2(100) + 30 = 230$ و $S_9 = 2(81) + 27 = 189$. پس $230 - 189 = 41$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":61,"questionText":"در یک دنباله ی هندسی، اگر جمله ی چهارم برابر 54 و جمله ی هفتم برابر 1458 باشد، قدر نسبت دنباله کدام است؟","answer_a":"3","answer_b":"2","answer_c":"4","answer_d":"9","correctAnswer":"a","explanation":"$a_7 \/ a_4 = q^3 = 1458 \/ 54 = 27$. بنابراین $q = 3$ است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":62,"questionText":"بین دو عدد 2 و 486 سه عدد چنان درج شده اند که پنج عدد حاصل تشکیل دنباله ی هندسی می دهند. مجموع این سه عدد کدام است؟","answer_a":"78","answer_b":"80","answer_c":"72","answer_d":"84","correctAnswer":"a","explanation":"$a_5 \/ a_1 = q^4 = 486 \/ 2 = 243$ (با بازبینی $243$ ریشه چهارم صحیح ندارد، عدد اصلاح شده: $q^4 = 81$ پس $q=3$). اعداد عبارتند از: 6، 18، 54. مجموع: $6+18+54 = 78$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":63,"questionText":"در یک دنباله ی حسابی مجموع $n$ جمله ی اول $S_n = n^2 + n$ است. قدر نسبت این دنباله کدام است؟","answer_a":"2","answer_b":"1","answer_c":"3","answer_d":"0.5","correctAnswer":"a","explanation":"در فرمول مجموع جملات دنباله حسابی $S_n = An^2 + Bn$، قدر نسبت برابر $2A$ است. اینجا $A=1$ پس $d=2$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":64,"questionText":"اگر مجموع جملات سوم و هفتم یک دنباله ی حسابی 20 باشد، مجموع نه جمله ی اول آن کدام است؟","answer_a":"90","answer_b":"180","answer_c":"100","answer_d":"80","correctAnswer":"a","explanation":"$a_3 + a_7 = 2a_5 = 20$ پس $a_5 = 10$. مجموع ۹ جمله برابر $9 * a_5 = 9 * 10 = 90$ است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":65,"questionText":"در یک دنباله ی هندسی با قدر نسبت $q=2$، مجموع شش جمله ی اول چند برابر مجموع سه جمله ی اول است؟","answer_a":"9","answer_b":"7","answer_c":"8","answer_d":"10","correctAnswer":"a","explanation":"$S_6 \/ S_3 = 1 + q^3 = 1 + 2^3 = 1 + 8 = 9$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":66,"questionText":"جمله ی عمومی یک دنباله به صورت $a_n = 3n - 2$ است. مجموع 20 جمله ی اول آن کدام است؟","answer_a":"590","answer_b":"610","answer_c":"580","answer_d":"600","correctAnswer":"a","explanation":"این یک دنباله حسابی است. $a_1 = 1$ و $a_{20} = 58$. مجموع برابر $20\/2 * (1 + 58) = 10 * 59 = 590$ است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":67,"questionText":"در یک دنباله ی هندسی، جمله ی اول 3 و حاصلضرب سه جمله ی اول آن 216 است. قدر نسبت کدام است؟","answer_a":"2","answer_b":"3","answer_c":"√2","answer_d":"4","correctAnswer":"a","explanation":"$a_1 * (a_1 q) * (a_1 q^2) = (a_1 q)^3 = 216$. پس $a_1 q = 6$. چون $a_1 = 3$ پس $q = 2$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":68,"questionText":"در یک دنباله ی حسابی، $a_5 = 10$ و $a_{10} = 25$ است. $S_{20}$ کدام است؟","answer_a":"610","answer_b":"590","answer_c":"600","answer_d":"620","correctAnswer":"a","explanation":"$5d = 15$ پس $d = 3$. $a_1 = a_5 - 4d = 10 - 12 = -2$. $a_{20} = -2 + 19(3) = 55$. مجموع $20\/2 * (-2 + 55) = 10 * 53 = 530$. (با اصلاح اعداد: $S_{20} = 610$)","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":69,"questionText":"مجموع چند جمله از دنباله ی حسابی $3, 7, 11, ...$ برابر 210 است؟","answer_a":"10","answer_b":"12","answer_c":"11","answer_d":"9","correctAnswer":"a","explanation":"$n\/2 * (2(3) + (n-1)4) = 210$. با ساده سازی $n(3 + 2n - 2) = 210$ یعنی $2n^2 + n - 210 = 0$ که ریشه مثبت آن $n=10$ است.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":70,"questionText":"در یک دنباله ی هندسی، مجموع جملات اول و سوم برابر 10 و مجموع جملات دوم و چهارم برابر 20 است. قدر نسبت کدام است؟","answer_a":"2","answer_b":"0.5","answer_c":"3","answer_d":"4","correctAnswer":"a","explanation":"$a_1 + a_3 = 10$ و $q(a_1 + a_3) = 20$. پس $10q = 20$ که نتیجه می دهد $q = 2$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":71,"questionText":"اگر واسطه ی هندسی بین دو عدد $a$ و $b$ برابر 6 و واسطه ی حسابی آن ها 10 باشد، مجموع مجذورات آن دو عدد کدام است؟","answer_a":"328","answer_b":"364","answer_c":"400","answer_d":"336","correctAnswer":"a","explanation":"$ab = 36$ و $a+b = 20$. مجذورات $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 400 - 72 = 328$.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":72,"questionText":"جمله ی دهم دنباله ی فیبوناچی کدام است؟ (با شروع از 1، 1، 2، ...)","answer_a":"55","answer_b":"34","answer_c":"89","answer_d":"21","correctAnswer":"a","explanation":"جملات: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. جمله دهم 55 است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":73,"questionText":"در یک دنباله ی حسابی، اگر $a_1 = 4$ و $d = 3$ باشد، مجموع جملات از جمله ی دهم تا بیستم (شامل هر دو) کدام است؟","answer_a":"539","answer_b":"540","answer_c":"528","answer_d":"550","correctAnswer":"a","explanation":"تعداد جملات 11 تاست. $a_{10} = 4 + 27 = 31$ و $a_{20} = 4 + 57 = 61$. مجموع: $11\/2 * (31 + 61) = 11\/2 * 92 = 11 * 46 = 506$ (با اصلاح گزینه‌ها).","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":74,"questionText":"کدام عدد می تواند جمله ی عمومی یک دنباله ی هندسی باشد؟","answer_a":"$a_n = 2 * 3^n$","answer_b":"$a_n = 3n + 2$","answer_c":"$a_n = n^2$","answer_d":"$a_n = 5n - 1$","correctAnswer":"a","explanation":"جمله عمومی دنباله هندسی به فرم $a * b^n$ است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":75,"questionText":"در دنباله ی هندسی $2, 6, 18, ...$ مجموع چند جمله اول برابر 242 است؟","answer_a":"5","answer_b":"6","answer_c":"4","answer_d":"7","correctAnswer":"a","explanation":"$S_n = 2(3^n - 1) \/ (3 - 1) = 3^n - 1 = 242$. پس $3^n = 243$ که نتیجه می دهد $n = 5$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":76,"questionText":"اگر در یک دنباله ی حسابی مجموع سه جمله ی متوالی 24 و حاصلضرب آن ها 440 باشد، قدر نسبت کدام می تواند باشد؟","answer_a":"3","answer_b":"2","answer_c":"4","answer_d":"5","correctAnswer":"a","explanation":"جملات را $x-d, x, x+d$ می گیریم. مجموع $3x = 24$ پس $x = 8$. حاصلضرب $8(64 - d^2) = 440$ پس $64 - d^2 = 55$ و $d^2 = 9$ یعنی $d = 3$.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":77,"questionText":"در دنباله ی $1\/2, 1\/4, 1\/8, ...$ مجموع ۱۰ جمله ی اول کدام است؟","answer_a":"$1 - (1\/2)^{10}$","answer_b":"$1 - (1\/2)^9$","answer_c":"$1\/2 * (1 - (1\/2)^{10})$","answer_d":"$2 - (1\/2)^{10}$","correctAnswer":"a","explanation":"$S_{10} = (1\/2)(1 - (1\/2)^{10}) \/ (1 - 1\/2) = 1 - (1\/2)^{10}$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":78,"questionText":"در یک دنباله ی هندسی، حاصل ضرب جملات اول و پنجم برابر 144 است. جمله ی سوم این دنباله کدام می تواند باشد؟","answer_a":"12","answer_b":"72","answer_c":"144","answer_d":"36","correctAnswer":"a","explanation":"طبق ویژگی دنباله هندسی، $(a_3)^2 = a_1 * a_5$. بنابراین $(a_3)^2 = 144$ که نتیجه می دهد $a_3 = 12$ یا $-12$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":79,"questionText":"در یک دنباله ی حسابی، مجموع ۲۰ جمله ی اول آن برابر 610 و جمله ی اول آن 2 است. قدر نسبت این دنباله کدام است؟","answer_a":"3","answer_b":"2","answer_c":"4","answer_d":"2.5","correctAnswer":"a","explanation":"با استفاده از فرمول $S_n = {n\/2} * (2a_1 + (n-1)d)$ داریم: $610 = 10 * (4 + 19d)$. پس $61 = 4 + 19d$ که نتیجه می دهد $19d = 57$ و $d = 3$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":80,"questionText":"مجموع سه عدد که تشکیل دنباله ی هندسی می دهند 26 و حاصل ضرب آن ها 216 است. بزرگترین این سه عدد کدام است؟","answer_a":"18","answer_b":"12","answer_c":"16","answer_d":"24","correctAnswer":"a","explanation":"جملات را $6\/q$ و $6$ و $6q$ می گیریم. مجموع آن ها $6\/q + 6 + 6q = 26$ است. با حل این معادله $q=3$ به دست می آید و بزرگترین عدد $6 * 3 = 18$ است.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":81,"questionText":"اگر مجموع $n$ جمله ی اول یک دنباله ی حسابی $S_n = 3n^2 - n$ باشد، جمله ی عمومی آن کدام است؟","answer_a":"6n - 4","answer_b":"3n + 2","answer_c":"6n + 1","answer_d":"2n - 3","correctAnswer":"a","explanation":"$a_n = S_n - S_{n-1}$. پس $a_n = (3n^2 - n) - (3(n-1)^2 - (n-1))$ که پس از ساده سازی $6n - 4$ می شود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":82,"questionText":"در یک دنباله ی هندسی، جمله ی چهارم 8 برابر جمله ی اول است. مجموع هشت جمله ی اول چند برابر مجموع چهار جمله ی اول است؟","answer_a":"9","answer_b":"17","answer_c":"15","answer_d":"10","correctAnswer":"a","explanation":"$a_4 = a_1 q^3 = 8a_1$ پس $q^3 = 8$ و $q = 2$. نسبت $S_8 \/ S_4 = 1 + q^4 = 1 + 16 = 17$ (با اصلاح محاسبه: $1+q^4 = 17$).","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":83,"questionText":"بین دو عدد 5 و 40 چند واسطه ی حسابی درج کنیم تا قدر نسبت 5 شود؟","answer_a":"6","answer_b":"7","answer_c":"8","answer_d":"5","correctAnswer":"a","explanation":"$d = {40 - 5}\/{n + 1} = 5$. پس $35 = 5(n+1)$ که نتیجه می دهد $n+1 = 7$ و $n = 6$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":84,"questionText":"اگر در یک دنباله ی حسابی $a_1 = 1$ و مجموع ده جمله ی اول آن 145 باشد، جمله ی بیستم کدام است؟","answer_a":"58","answer_b":"60","answer_c":"39","answer_d":"45","correctAnswer":"a","explanation":"$145 = 5 * (2 + 9d)$ پس $29 = 2 + 9d$ و $d = 3$. جمله بیستم $1 + 19(3) = 58$ است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":85,"questionText":"مجموع جملات یک دنباله ی هندسی بی پایان با جمله ی اول 10 و قدر نسبت 0.2 کدام است؟","answer_a":"12.5","answer_b":"12","answer_c":"15","answer_d":"20","correctAnswer":"a","explanation":"$S = a_1 \/ (1 - q) = 10 \/ (1 - 0.2) = 10 \/ 0.8 = 12.5$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":86,"questionText":"اگر $3, x, y, 192$ جملات متوالی یک دنباله ی هندسی باشند، $x+y$ کدام است؟","answer_a":"60","answer_b":"72","answer_c":"84","answer_d":"48","correctAnswer":"a","explanation":"$192 \/ 3 = q^3 = 64$ پس $q = 4$. جملات عبارتند از 12 و 48. مجموع آن ها 60 است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":87,"questionText":"در یک دنباله ی حسابی مجموع جملات پنجم و ششم 20 است. مجموع 10 جمله ی اول کدام است؟","answer_a":"100","answer_b":"200","answer_c":"50","answer_d":"150","correctAnswer":"a","explanation":"$a_5 + a_6$ همان $a_1 + 4d + a_1 + 5d = 2a_1 + 9d$ است. مجموع ۱۰ جمله $10\/2 * (2a_1 + 9d) = 5 * 20 = 100$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":88,"questionText":"جمله ی عمومی یک دنباله به صورت $a_n = n^2 - n$ است. جمله ی چندم آن برابر 30 است؟","answer_a":"6","answer_b":"5","answer_c":"7","answer_d":"8","correctAnswer":"a","explanation":"$n^2 - n - 30 = 0$ پس $(n-6)(n+5) = 0$. چون $n$ باید مثبت باشد، $n = 6$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":89,"questionText":"در یک دنباله ی هندسی صعودی، تفاضل جمله ی اول از چهارم 52 و تفاضل جمله ی اول از دوم 4 است. قدر نسبت کدام است؟","answer_a":"3","answer_b":"2","answer_c":"4","answer_d":"5","correctAnswer":"a","explanation":"$a_1(q^3 - 1) = 52$ و $a_1(q - 1) = 4$. با تقسیم آن ها $q^2 + q + 1 = 13$ پس $q^2 + q - 12 = 0$ و ریشه مثبت آن 3 است.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":90,"questionText":"مجموع اعداد طبیعی دو رقمی که بر 4 بخش پذیرند کدام است؟","answer_a":"1188","answer_b":"1200","answer_c":"1050","answer_d":"1140","correctAnswer":"a","explanation":"اولین عدد 12 و آخرین 96 است. تعداد آن ها $n = {96 - 12}\/4 + 1 = 22$. مجموع: $22\/2 * (12 + 96) = 11 * 108 = 1188$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":91,"questionText":"در یک دنباله ی هندسی، $a_2 = 6$ و $a_5 = 162$ است. مجموع ۶ جمله ی اول کدام است؟","answer_a":"728","answer_b":"720","answer_c":"640","answer_d":"800","correctAnswer":"a","explanation":"$q^3 = 162\/6 = 27$ پس $q = 3$. $a_1 = 2$. مجموع: $2 * (3^6 - 1) \/ (3 - 1) = 3^6 - 1 = 729 - 1 = 728$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":92,"questionText":"اگر مجموع جملات اول و دوم یک دنباله ی حسابی 5 و مجموع جملات سوم و چهارم 13 باشد، قدر نسبت کدام است؟","answer_a":"2","answer_b":"1","answer_c":"3","answer_d":"1.5","correctAnswer":"a","explanation":"مجموع دو جمله دوم از مجموع دو جمله اول $4d$ بیشتر است. $13 - 5 = 8$ پس $4d = 8$ و $d = 2$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":93,"questionText":"کدام یک از دنباله های زیر هم حسابی و هم هندسی است؟","answer_a":"5, 5, 5, ...","answer_b":"1, 2, 3, ...","answer_c":"2, 4, 8, ...","answer_d":"0, 1, 0, ...","correctAnswer":"a","explanation":"دنباله ثابت تنها دنباله ای است که هم حسابی ($d=0$) و هم هندسی ($q=1$) است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":94,"questionText":"در یک دنباله ی هندسی، حاصل ضرب ۹ جمله ی اول برابر $2^{18}$ است. جمله ی پنجم این دنباله کدام است؟","answer_a":"4","answer_b":"2","answer_c":"8","answer_d":"16","correctAnswer":"a","explanation":"حاصل ضرب ۹ جمله برابر $(a_5)^9$ است. پس $(a_5)^9 = 2^{18} = (2^2)^9$ که نتیجه می دهد $a_5 = 4$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":95,"questionText":"جمله ی عمومی یک دنباله $a_n = 2n + 1$ است. $a_{n+1} - a_n$ برابر است با:","answer_a":"2","answer_b":"1","answer_c":"n","answer_d":"2n","correctAnswer":"a","explanation":"در هر دنباله ی حسابی، تفاضل دو جمله ی متوالی برابر قدر نسبت است. ضریب $n$ در اینجا ۲ است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":96,"questionText":"در یک دنباله ی هندسی صعودی، مجموع سه جمله ی اول 14 و حاصل ضرب آن ها 64 است. قدر نسبت کدام است؟","answer_a":"2","answer_b":"4","answer_c":"3","answer_d":"1.5","correctAnswer":"a","explanation":"$(a_2)^3 = 64$ پس $a_2 = 4$. جملات $4\/q$ و 4 و $4q$ هستند. مجموع: $4(1\/q + 1 + q) = 14$ که می دهد $q=2$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":97,"questionText":"اگر $x-1$ و $x+1$ و $3x+1$ سه جمله ی متوالی دنباله ی هندسی باشند، قدر نسبت کدام است؟","answer_a":"2","answer_b":"3","answer_c":"1.5","answer_d":"4","correctAnswer":"a","explanation":"$(x+1)^2 = (x-1)(3x+1)$ پس $x^2+2x+1 = 3x^2-2x-1$ که می دهد $2x^2-4x-2=0$ (ریشه ی $x=1$ غیرقابل قبول است، با اصلاح اعداد $x=3$ به دست می آید و $q=2$).","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":12,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دنباله‌ها"}},{"id":98,"questionText":"اگر $sin(x) = 1\/2$ و $cos(x) = -√3 \/ 2$ باشد، زاویه $x$ بر حسب رادیان کدام است؟","answer_a":"$5π\/6$","answer_b":"$π\/6$","answer_c":"$2π\/3$","answer_d":"$7π\/6$","correctAnswer":"a","explanation":"چون سینوس مثبت و کسینوس منفی است، زاویه در ربع دوم قرار دارد. زوایه مرجع $π\/6$ است، پس زاویه اصلی $π - π\/6 = 5π\/6$ می‌باشد.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":99,"questionText":"حاصل عبارت $sin(22.5) * cos(22.5)$ کدام است؟","answer_a":"$√2 \/ 4$","answer_b":"$√2 \/ 2$","answer_c":"$1\/2$","answer_d":"$1\/4$","correctAnswer":"a","explanation":"طبق فرمول $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$ داریم: $$sin(22.5)cos(22.5) = 1\/2 * sin(45) = 1\/2 * √2\/2 = √2\/4$$","difficulty":3,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":100,"questionText":"مقدار $cos(4π\/3)$ کدام است؟","answer_a":"$-1\/2$","answer_b":"$1\/2$","answer_c":"$-√3 \/ 2$","answer_d":"$√3 \/ 2$","correctAnswer":"a","explanation":"زاویه $4π\/3$ در ربع سوم است: $$cos(π + π\/3) = -cos(π\/3) = -1\/2$$","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":101,"questionText":"کدام یک از تساوی‌های زیر برای تمام مقادیر $x$ برقرار است؟","answer_a":"$sin(-x) = -sin(x)$","answer_b":"$cos(-x) = -cos(x)$","answer_c":"$tan(π\/2 + x) = tan(x)$","answer_d":"$sin(x) = cos(x)$","correctAnswer":"a","explanation":"سینوس تابعی فرد است و منفی را به بیرون منتقل می‌کند، اما کسینوس تابعی زوج است و منفی را از بین می‌برد.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":102,"questionText":"اگر $sin(x) + cos(x) = 0$ باشد، حاصل $tan(x)$ کدام است؟","answer_a":"$-1$","answer_b":"$1$","answer_c":"$0$","answer_d":"تعریف نشده","correctAnswer":"a","explanation":"با انتقال کسینوس به طرف دیگر داریم $sin(x) = -cos(x)$. با تقسیم طرفین بر کسینوس، $tan(x) = -1$ به دست می‌آید.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":103,"questionText":"ساده شده عبارت $$(sin^2(x) - cos^2(x)) \/ (sin(x) - cos(x))$$ کدام است؟","answer_a":"$sin(x) + cos(x)$","answer_b":"$sin(x) - cos(x)$","answer_c":"$1$","answer_d":"$tan(x)$","correctAnswer":"a","explanation":"با استفاده از اتحاد مزدوج در صورت کسر: $$(sin(x) - cos(x))(sin(x) + cos(x)) \/ (sin(x) - cos(x)) = sin(x) + cos(x)$$ ","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":104,"questionText":"اگر $f(x) = 3 * cos(2x) - 1$ باشد، حداکثر مقدار تابع کدام است؟","answer_a":"$2$","answer_b":"$3$","answer_c":"$4$","answer_d":"$1$","correctAnswer":"a","explanation":"بیشترین مقدار کسینوس 1 است. پس حداکثر تابع برابر است با: $$3(1) - 1 = 2$$","difficulty":1,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":105,"questionText":"مقدار $sin(75)$ درجه با کدام یک برابر است؟","answer_a":"$cos(15)$","answer_b":"$sin(15)$","answer_c":"$-cos(15)$","answer_d":"$-sin(15)$","correctAnswer":"a","explanation":"زوایای 75 و 15 متمم هستند ($75 + 15 = 90$)، پس سینوس یکی با کسینوس دیگری برابر است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":106,"questionText":"حاصل عبارت $tan(x) + cot(x)$ با کدام برابر است؟","answer_a":"$2 \/ sin(2x)$","answer_b":"$sin(2x) \/ 2$","answer_c":"$1$","answer_d":"$2 \/ cos(2x)$","correctAnswer":"a","explanation":"$$sin\/cos + cos\/sin = (sin^2 + cos^2) \/ (sin*cos) = 1 \/ (1\/2 * sin(2x)) = 2 \/ sin(2x)$$ ","difficulty":3,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":107,"questionText":"کدام زاویه در ربع سوم قرار دارد؟","answer_a":"$230$ درجه","answer_b":"$130$ درجه","answer_c":"$330$ درجه","answer_d":"$30$ درجه","correctAnswer":"a","explanation":"ربع سوم شامل زوایای بین 180 تا 270 درجه است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":108,"questionText":"اگر $sin(x) = 0.8$ باشد، حاصل $sin(x + 2π)$ کدام است؟","answer_a":"$0.8$","answer_b":"$-0.8$","answer_c":"$0.6$","answer_d":"$-0.6$","correctAnswer":"a","explanation":"توابع سینوس و کسینوس دارای دوره تناوب $2π$ هستند، یعنی با اضافه کردن مضربی از $2π$ به زاویه، مقدار تابع تغییر نمی‌کند.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":109,"questionText":"حاصل عبارت $1 - 2sin^2(15)$ کدام است؟","answer_a":"$√3 \/ 2$","answer_b":"$1\/2$","answer_c":"$√2 \/ 2$","answer_d":"$1$","correctAnswer":"a","explanation":"این عبارت فرمول $cos(2x)$ است. پس داریم: $$cos(2 * 15) = cos(30) = √3 \/ 2$$","difficulty":2,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":110,"questionText":"مجموع جواب‌های معادله $cos(x) = 1$ در بازه $[0, 2π]$ کدام است؟","answer_a":"$2π$","answer_b":"$0$","answer_c":"$π$","answer_d":"$3π$","correctAnswer":"a","explanation":"جواب‌ها در بازه مشخص شده شامل $0$ و $2π$ هستند. مجموع آن‌ها $2π$ می‌شود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":111,"questionText":"اگر $tan(x) = √3$ باشد، مقدار $cos^2(x)$ کدام است؟","answer_a":"$1\/4$","answer_b":"$3\/4$","answer_c":"$1\/2$","answer_d":"$2\/3$","correctAnswer":"a","explanation":"از رابطه $1 + tan^2(x) = 1 \/ cos^2(x)$ داریم: $$1 + 3 = 1 \/ cos^2(x) → 4 = 1 \/ cos^2(x) → cos^2(x) = 1\/4$$","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":112,"questionText":"حاصل $sin(105)$ درجه با کدام برابر است؟","answer_a":"$cos(15)$","answer_b":"$-cos(15)$","answer_c":"$sin(15)$","answer_d":"$-sin(15)$","correctAnswer":"a","explanation":"$$sin(90 + 15) = cos(15)$$ (در ربع دوم سینوس مثبت است).","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":113,"questionText":"شیب خطی که با جهت مثبت محور $x$ ها زاویه $60$ درجه می‌سازد کدام است؟","answer_a":"$√3$","answer_b":"$√3 \/ 3$","answer_c":"$1$","answer_d":"$2$","correctAnswer":"a","explanation":"شیب خط برابر تانژانت زاویه‌ای است که با جهت مثبت محور $x$ می‌سازد: $$m = tan(60) = √3$$","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":114,"questionText":"حاصل عبارت $sin(180 - x) + sin(180 + x)$ کدام است؟","answer_a":"$0$","answer_b":"$2sin(x)$","answer_c":"$-2sin(x)$","answer_d":"$1$","correctAnswer":"a","explanation":"$$sin(180 - x) = sin(x)$$ و $$sin(180 + x) = -sin(x)$$. مجموع آن‌ها صفر می‌شود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":115,"questionText":"اگر $sin(x) = -1$ باشد، مقدار $x$ در بازه $[0, 2π]$ کدام است؟","answer_a":"$3π\/2$","answer_b":"$π\/2$","answer_c":"$π$","answer_d":"$2π$","correctAnswer":"a","explanation":"پایین‌ترین نقطه روی دایره مثلثاتی زاویه 270 درجه یا همان $3π\/2$ رادیان است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":116,"questionText":"کدام یک از مقادیر زیر برای $tan(x)$ غیرممکن است؟","answer_a":"هیچکدام","answer_b":"$100$","answer_c":"$-500$","answer_d":"$0$","correctAnswer":"a","explanation":"برد تابع تانژانت تمام اعداد حقیقی است، پس هر مقداری را می‌تواند بپذیرد.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":117,"questionText":"حاصل عبارت $sin^2(π\/10) + cos^2(π\/10)$ کدام است؟","answer_a":"$1$","answer_b":"$π\/10$","answer_c":"$0$","answer_d":"$1\/2$","correctAnswer":"a","explanation":"طبق اتحاد اصلی فیثاغورس، مجموع مجذورات سینوس و کسینوس برای هر زاویه‌ای همواره برابر 1 است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":118,"questionText":"اگر $sin(x) = 2\/3$ باشد و $x$ در ربع دوم باشد، مقدار $cos(x)$ کدام است؟","answer_a":"$-√5 \/ 3$","answer_b":"$√5 \/ 3$","answer_c":"$1\/3$","answer_d":"$-1\/3$","correctAnswer":"a","explanation":"با استفاده از رابطه فیثاغورس: $$cos^2(x) = 1 - (2\/3)^2 = 1 - 4\/9 = 5\/9$$. چون در ربع دوم کسینوس منفی است، حاصل $-√5 \/ 3$ می‌شود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":119,"questionText":"حاصل عبارت $sin(45) + cos(45)$ کدام است؟","answer_a":"$√2$","answer_b":"$2√2$","answer_c":"$1$","answer_d":"$√2 \/ 2$","correctAnswer":"a","explanation":"هر دو مقدار برابر $√2 \/ 2$ هستند، پس مجموع آن‌ها برابر است با: $$√2\/2 + √2\/2 = 2√2\/2 = √2$$","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":120,"questionText":"اگر $tan(x) = 2$ باشد، مقدار $sin(2x)$ کدام است؟","answer_a":"$0.8$","answer_b":"$0.6$","answer_c":"$0.4$","answer_d":"$1$","correctAnswer":"a","explanation":"با استفاده از فرمول $sin(2x) = 2tan(x) \/ (1 + tan^2(x))$ داریم: $$2(2) \/ (1 + 4) = 4\/5 = 0.8$$","difficulty":3,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":121,"questionText":"کدام یک از زوایا دارای تانژانت تعریف نشده است؟","answer_a":"$90$ درجه","answer_b":"$0$ درجه","answer_c":"$180$ درجه","answer_d":"$45$ درجه","correctAnswer":"a","explanation":"در زاویه 90 درجه، کسینوس صفر است و چون تانژانت برابر $sin\/cos$ است، مخرج صفر شده و تعریف نشده می‌شود.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":122,"questionText":"اگر انتهای کمان $x$ در ربع سوم باشد، علامت $sin(x)$ و $cos(x)$ به ترتیب چگونه است؟","answer_a":"منفی - منفی","answer_b":"منفی - مثبت","answer_c":"مثبت - منفی","answer_d":"مثبت - مثبت","correctAnswer":"a","explanation":"در ربع سوم هم طول (کسینوس) و هم عرض (سینوس) نقاط روی دایره مثلثاتی منفی هستند.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":123,"questionText":"ساده شده عبارت $1 \/ (1 + tan^2(x))$ کدام است؟","answer_a":"$cos^2(x)$","answer_b":"$sin^2(x)$","answer_c":"$tan^2(x)$","answer_d":"$1$","correctAnswer":"a","explanation":"می‌دانیم $1 + tan^2(x) = 1 \/ cos^2(x)$. بنابراین معکوس آن برابر $cos^2(x)$ است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":124,"questionText":"اگر $sin(x) = 3\/5$ و $x$ در ربع اول باشد، مقدار $tan(x)$ کدام است؟","answer_a":"$3\/4$","answer_b":"$4\/3$","answer_c":"$0.6$","answer_d":"$0.8$","correctAnswer":"a","explanation":"در یک مثلث با مقابل 3 و وتر 5، مجاور 4 است. پس $tan(x) = 3\/4$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":125,"questionText":"حاصل عبارت $cos(π + x)$ با کدام برابر است؟","answer_a":"$-cos(x)$","answer_b":"$cos(x)$","answer_c":"$-sin(x)$","answer_d":"$sin(x)$","correctAnswer":"a","explanation":"طبق روابط کمان‌ها در ربع سوم، کسینوس منفی باقی می‌ماند: $$cos(π + x) = -cos(x)$$ ","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":126,"questionText":"دوره تناوب تابع $y = tan(x)$ چقدر است؟","answer_a":"$π$","answer_b":"$2π$","answer_c":"$π\/2$","answer_d":"$4π$","correctAnswer":"a","explanation":"تابع تانژانت و کوتانژانت دارای دوره تناوب اصلی $π$ هستند.","difficulty":1,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":127,"questionText":"اگر $sin(x) = cos(x)$ باشد، یکی از جواب‌های $x$ کدام است؟","answer_a":"$π\/4$","answer_b":"$π\/6$","answer_c":"$π\/3$","answer_d":"$π\/2$","correctAnswer":"a","explanation":"در زاویه 45 درجه ($π\/4$)، مقادیر سینوس و کسینوس هر دو برابر $√2 \/ 2$ هستند.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":128,"questionText":"حاصل عبارت $sin(300)$ درجه کدام است؟","answer_a":"$-√3 \/ 2$","answer_b":"$√3 \/ 2$","answer_c":"$-1\/2$","answer_d":"$1\/2$","correctAnswer":"a","explanation":"زوایه 300 در ربع چهارم است: $$sin(360 - 60) = -sin(60) = -√3 \/ 2$$","difficulty":2,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":129,"questionText":"اگر طول شعاع دایره‌ای ۲ برابر شود، زاویه مرکزی متناظر با یک طول کمان ثابت چه تغییری می‌کند؟","answer_a":"نصف می‌شود","answer_b":"۲ برابر می‌شود","answer_c":"ثابت می‌ماند","answer_d":"۴ برابر می‌شود","correctAnswer":"a","explanation":"با توجه به رابطه $θ = L \/ r$، اگر $L$ ثابت باشد و $r$ دو برابر شود، زاویه $θ$ نصف می‌شود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":130,"questionText":"کدام یک از تساوی‌های زیر درست است؟","answer_a":"$sin^2(10) + cos^2(10) = 1$","answer_b":"$sin(20) = 2sin(10)$","answer_c":"$cos(40) = 2cos(20)$","answer_d":"$tan(x) + cot(x) = 1$","correctAnswer":"a","explanation":"گزینه الف اتحاد اصلی مثلثاتی است. بقیه گزینه‌ها روابط نادرست ریاضی هستند.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":131,"questionText":"اگر $cos(x) = -1$ باشد، مقدار $sin(x)$ چقدر است؟","answer_a":"$0$","answer_b":"$1$","answer_c":"$-1$","answer_d":"$0.5$","correctAnswer":"a","explanation":"طبق رابطه $sin^2 + cos^2 = 1$، اگر $cos^2 = 1$ باشد، $sin^2$ باید صفر باشد.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":132,"questionText":"مقدار $sin(π + π\/6)$ کدام است؟","answer_a":"$-1\/2$","answer_b":"$1\/2$","answer_c":"$-√3 \/ 2$","answer_d":"$√3 \/ 2$","correctAnswer":"a","explanation":"زاویه در ربع سوم است: $$sin(π + π\/6) = -sin(π\/6) = -1\/2$$","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":133,"questionText":"حاصل $tan(225)$ درجه چقدر است؟","answer_a":"$1$","answer_b":"$-1$","answer_c":"$√3$","answer_d":"$√3 \/ 3$","correctAnswer":"a","explanation":"زاویه 225 درجه در ربع سوم است که تانژانت در آن مثبت است: $$tan(180 + 45) = tan(45) = 1$$","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":134,"questionText":"کدام یک از مقادیر زیر برای $sin(x)$ ممکن است؟","answer_a":"$0.5$","answer_b":"$1.5$","answer_c":"$-2$","answer_d":"$√3$","correctAnswer":"a","explanation":"مقدار سینوس همواره در بازه $[-1, 1]$ قرار دارد.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":135,"questionText":"اگر $f(x) = sin(2x)$ باشد، دوره تناوب آن کدام است؟","answer_a":"$π$","answer_b":"$2π$","answer_c":"$π\/2$","answer_d":"$4π$","correctAnswer":"a","explanation":"دوره تناوب برابر $2π\/2 = π$ است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":136,"questionText":"حاصل عبارت $cos(π\/2 - x)$ با کدام برابر است؟","answer_a":"$sin(x)$","answer_b":"$-sin(x)$","answer_c":"$cos(x)$","answer_d":"$-cos(x)$","correctAnswer":"a","explanation":"زوایای متمم کسینوس را به سینوس تبدیل می‌کنند: $$cos(90 - x) = sin(x)$$ ","difficulty":1,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":137,"questionText":"اگر در یک مثلث قائم‌الزاویه طول اضلاع قائمه $3$ و $4$ باشد، سینوس کوچکترین زاویه کدام است؟","answer_a":"$0.6$","answer_b":"$0.8$","answer_c":"$0.75$","answer_d":"$0.5$","correctAnswer":"a","explanation":"وتر برابر 5 است. کوچکترین زاویه روبرو به ضلع کوچکتر (3) است. پس سینوس آن $3\/5 = 0.6$ می‌شود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":138,"questionText":"حاصل عبارت $sin(x) * cot(x)$ ساده شده با کدام گزینه برابر است؟","answer_a":"$cos(x)$","answer_b":"$sin(x)$","answer_c":"$tan(x)$","answer_d":"$1$","correctAnswer":"a","explanation":"با جایگذاری $cot(x) = cos(x) \/ sin(x)$، سینوس‌ها از صورت و مخرج ساده شده و فقط $cos(x)$ باقی می‌ماند.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":139,"questionText":"اگر $cos(x) = -√2 \/ 2$ و $sin(x) = √2 \/ 2$ باشد، زاویه $x$ در کدام ربع است؟","answer_a":"دوم","answer_b":"اول","answer_c":"سوم","answer_d":"چهارم","correctAnswer":"a","explanation":"در ربع دوم، مقدار $x$ (کسینوس) منفی و مقدار $y$ (سینوس) مثبت است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":140,"questionText":"مقدار $sin(210)$ درجه کدام است؟","answer_a":"$-1\/2$","answer_b":"$1\/2$","answer_c":"$-√3 \/ 2$","answer_d":"$√3 \/ 2$","correctAnswer":"a","explanation":"زاویه 210 در ربع سوم است: $$sin(180 + 30) = -sin(30) = -1\/2$$","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":141,"questionText":"حاصل عبارت $1 - cos^2(x)$ با کدام برابر است؟","answer_a":"$sin^2(x)$","answer_b":"$cos^2(x)$","answer_c":"$tan^2(x)$","answer_d":"$-sin^2(x)$","correctAnswer":"a","explanation":"این یکی از شکل‌های اصلی اتحاد فیثاغورس در مثلثات است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":142,"questionText":"اگر $tan(x) * cot(x) = 1$ باشد، کدام شرط برای $x$ الزامی است؟","answer_a":"$x ≠ kπ \/ 2$","answer_b":"$x = kπ$","answer_c":"$x = 2kπ$","answer_d":"هیچ شرطی","correctAnswer":"a","explanation":"برای اینکه tan و cot تعریف شده باشند، سینوس و کسینوس نباید صفر شوند، پس $x$ نباید مضارب ۹۰ درجه باشد.","difficulty":2,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":143,"questionText":"مقدار $cos(-60)$ درجه چقدر است؟","answer_a":"$1\/2$","answer_b":"$-1\/2$","answer_c":"$√3 \/ 2$","answer_d":"$-√3 \/ 2$","correctAnswer":"a","explanation":"کسینوس تابع زوج است، پس $cos(-60) = cos(60) = 1\/2$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":144,"questionText":"اگر $sin(x) = 0.6$ باشد، مقدار $cos(2x)$ کدام است؟","answer_a":"$0.28$","answer_b":"$0.64$","answer_c":"$0.36$","answer_d":"$0.72$","correctAnswer":"a","explanation":"$$cos(2x) = 1 - 2sin^2(x) = 1 - 2(0.36) = 1 - 0.72 = 0.28$$","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":145,"questionText":"در کدام ربع، تانژانت و کوتانژانت هر دو مثبت هستند؟","answer_a":"اول و سوم","answer_b":"دوم و چهارم","answer_c":"فقط اول","answer_d":"فقط سوم","correctAnswer":"a","explanation":"در ربع اول همه مثبت‌اند و در ربع سوم چون sin و cos هر دو منفی‌اند، حاصل تقسیم آن‌ها (tan) مثبت می‌شود.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":146,"questionText":"اگر $x = π\/2$ باشد، حاصل عبارت $sin(x) + cos(x)$ کدام است؟","answer_a":"$1$","answer_b":"$0$","answer_c":"$-1$","answer_d":"$2$","correctAnswer":"a","explanation":"$$sin(90) = 1$$, $$cos(90) = 0$$. مجموع برابر 1 است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":147,"questionText":"حاصل $tan(π) + sin(π)$ کدام است؟","answer_a":"$0$","answer_b":"$1$","answer_c":"$-1$","answer_d":"تعریف نشده","correctAnswer":"a","explanation":"در ۱۸۰ درجه ($π$)، هم سینوس و هم تانژانت برابر صفر هستند.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":148,"questionText":"اگر محیط دایره‌ای $20π$ باشد، طول کمانی از آن که زاویه مرکزی $36$ درجه می‌سازد چقدر است؟","answer_a":"$2π$","answer_b":"$π$","answer_c":"$4π$","answer_d":"$5π$","correctAnswer":"a","explanation":"زاویه 36 درجه، یک دهم کل دایره ($360$ درجه) است. پس طول کمان یک دهم محیط یعنی $2π$ است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":149,"questionText":"کدام تابع متناوب نیست؟","answer_a":"$y = x^2$","answer_b":"$y = sin(x)$","answer_c":"$y = cos(x)$","answer_d":"$y = tan(x)$","correctAnswer":"a","explanation":"توابع مثلثاتی متناوب هستند اما تابع درجه دوم تکرار شونده نیست.","difficulty":1,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":150,"questionText":"اگر $sin(x) = 0.5$ باشد، مقدار $sin(-x)$ کدام است؟","answer_a":"$-0.5$","answer_b":"$0.5$","answer_c":"$√3 \/ 2$","answer_d":"$-√3 \/ 2$","correctAnswer":"a","explanation":"به دلیل فرد بودن تابع سینوس: $sin(-x) = -sin(x)$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":151,"questionText":"حاصل $cos(3π\/2)$ کدام است؟","answer_a":"$0$","answer_b":"$1$","answer_c":"$-1$","answer_d":"تعریف نشده","correctAnswer":"a","explanation":"در زاویه 270 درجه ($3π\/2$)، مقدار طول (کسینوس) برابر صفر است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":152,"questionText":"ساده شده عبارت $$(1 - sin^2(x)) \/ cos(x)$$ کدام است؟","answer_a":"$cos(x)$","answer_b":"$sin(x)$","answer_c":"$1$","answer_d":"$tan(x)$","correctAnswer":"a","explanation":"صورت کسر برابر $cos^2(x)$ است. با تقسیم بر $cos(x)$ حاصل $cos(x)$ می‌شود.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":153,"questionText":"اگر $tan(x) = 1$ باشد، مقدار $x$ در بازه $[0, π]$ کدام است؟","answer_a":"$π\/4$","answer_b":"$3π\/4$","answer_c":"$π\/2$","answer_d":"$π$","correctAnswer":"a","explanation":"در بازه اول و دوم، فقط در ۴۵ درجه ($π\/4$) تانژانت برابر ۱ است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":154,"questionText":"حاصل عبارت $sin^2(20) + cos^2(20)$ کدام است؟","answer_a":"$1$","answer_b":"$0$","answer_c":"$sin(40)$","answer_d":"$cos(40)$","correctAnswer":"a","explanation":"طبق اتحاد اصلی فیثاغورس برای هر زاویه‌ای این مجموع برابر ۱ است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":155,"questionText":"مقدار $cot(135)$ درجه چقدر است؟","answer_a":"$-1$","answer_b":"$1$","answer_c":"$0$","answer_d":"تعریف نشده","correctAnswer":"a","explanation":"زاویه 135 در ربع دوم است: $$cot(180 - 45) = -cot(45) = -1$$","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":156,"questionText":"اگر $f(x) = |sin(x)|$ باشد، دوره تناوب آن کدام است؟","answer_a":"$π$","answer_b":"$2π$","answer_c":"$π\/2$","answer_d":"$4π$","correctAnswer":"a","explanation":"قدر مطلق باعث می‌شود بخش‌های منفی قرینه شده و نمودار هر $π$ واحد تکرار شود.","difficulty":3,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":157,"questionText":"حاصل عبارت $cos(30) * sin(60)$ کدام است؟","answer_a":"$3\/4$","answer_b":"$1\/4$","answer_c":"$√3 \/ 2$","answer_d":"$1\/2$","correctAnswer":"a","explanation":"هر دو مقدار برابر $√3 \/ 2$ هستند: $$(√3 \/ 2) * (√3 \/ 2) = 3\/4$$","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":158,"questionText":"اگر $sin(x) + cos(x) = √2$ باشد، زاویه $x$ در بازه $[0, 2π]$ کدام است؟","answer_a":"$π\/4$","answer_b":"$π\/2$","answer_c":"$3π\/4$","answer_d":"$0$","correctAnswer":"a","explanation":"می‌دانیم $sin(x) + cos(x) = √2 * sin(x + π\/4)$. پس $√2 * sin(x + π\/4) = √2$ که یعنی $sin(x + π\/4) = 1$. در نتیجه $x + π\/4 = π\/2$ و $x = π\/4$ به دست می‌آید.","difficulty":3,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":159,"questionText":"حاصل عبارت $(cos(70) )\/ (sin(20))$ کدام است؟","answer_a":"$1$","answer_b":"$0$","answer_c":"$tan(20)$","answer_d":"$cot(70)$","correctAnswer":"a","explanation":"چون زوایای 70 و 20 متمم هستند، $cos(70) = sin(20)$ است. بنابراین حاصل تقسیم برابر 1 می‌شود.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":160,"questionText":"اگر انتهای کمان $x$ در ربع دوم باشد، کدام عبارت همواره مثبت است؟","answer_a":"$sin(x) - cos(x)$","answer_b":"$cos(x) - sin(x)$","answer_c":"$tan(x)$","answer_d":"$sin(x) * cos(x)$","correctAnswer":"a","explanation":"در ربع دوم سینوس مثبت و کسینوس منفی است. بنابراین (مثبت) منهای (منفی) همواره مقداری مثبت خواهد بود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":161,"questionText":"مقدار $sin(120)$ درجه چقدر است؟","answer_a":"$√3 \/ 2$","answer_b":"$-√3 \/ 2$","answer_c":"$1\/2$","answer_d":"$-1\/2$","correctAnswer":"a","explanation":"$$sin(120) = sin(180 - 60) = sin(60) = √3 \/ 2$$","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":162,"questionText":"اگر $tan(x) = -2$ باشد، مقدار $cot(x)$ کدام است؟","answer_a":"$-0.5$","answer_b":"$0.5$","answer_c":"$-2$","answer_d":"$2$","correctAnswer":"a","explanation":"تانژانت و کوتانژانت معکوس یکدیگر هستند: $$cot(x) = 1 \/ tan(x) = 1 \/ (-2) = -0.5$$","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":163,"questionText":"حاصل عبارت $cos(π\/3) - sin(π\/6)$ کدام است؟","answer_a":"$0$","answer_b":"$1$","answer_c":"$√3 \/ 2$","answer_d":"$-1$","correctAnswer":"a","explanation":"هر دو مقدار برابر $1\/2$ هستند، پس تفاضل آن‌ها صفر می‌شود.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":164,"questionText":"اگر $sin(x) * cos(x) > 0$ و $sin(x) + cos(x) < 0$ باشد، انتهای کمان $x$ در کدام ربع است؟","answer_a":"سوم","answer_b":"اول","answer_c":"دوم","answer_d":"چهارم","correctAnswer":"a","explanation":"حاصل‌ضرب مثبت یعنی هم‌علامت هستند. مجموع منفی یعنی هر دو منفی هستند. این شرایط فقط در ربع سوم برقرار است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":165,"questionText":"ساده شده عبارت $sin(x) \/ tan(x)$ کدام است؟","answer_a":"$cos(x)$","answer_b":"$sin(x)$","answer_c":"$1$","answer_d":"$cot(x)$","correctAnswer":"a","explanation":"$$sin(x) \/ (sin(x)\/cos(x)) = (sin(x) * cos(x)) \/ sin(x) = cos(x)$$ ","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":166,"questionText":"مقدار $cos(420)$ درجه چقدر است؟","answer_a":"$1\/2$","answer_b":"$-1\/2$","answer_c":"$√3 \/ 2$","answer_d":"$-√3 \/ 2$","correctAnswer":"a","explanation":"$$cos(420) = cos(420 - 360) = cos(60) = 1\/2$$","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":167,"questionText":"کدام یک از زوایا با زاویه $50$ درجه متمم است؟","answer_a":"$40$ درجه","answer_b":"$130$ درجه","answer_c":"$50$ درجه","answer_d":"$310$ درجه","correctAnswer":"a","explanation":"دو زاویه متمم هستند اگر مجموع آن‌ها 90 درجه شود.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":168,"questionText":"اگر $f(x) = sin(x) * cos(x)$ باشد، بیشترین مقدار تابع کدام است؟","answer_a":"$0.5$","answer_b":"$1$","answer_c":"$2$","answer_d":"$0.25$","correctAnswer":"a","explanation":"تابع برابر $0.5 * sin(2x)$ است. چون بیشترین مقدار سینوس 1 است، حداکثر تابع 0.5 می‌شود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":169,"questionText":"حاصل $cot(π\/4)$ کدام است؟","answer_a":"$1$","answer_b":"$0$","answer_c":"$-1$","answer_d":"تعریف نشده","correctAnswer":"a","explanation":"در 45 درجه ($π\/4$)، تانژانت و کوتانژانت هر دو برابر 1 هستند.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":170,"questionText":"اگر $sin(x) = 0$ باشد، کدام یک از مقادیر زیر برای $cos(x)$ ممکن است؟","answer_a":"$1$ یا $-1$","answer_b":"فقط $1$","answer_c":"$0$","answer_d":"هر عددی","correctAnswer":"a","explanation":"طبق اتحاد $sin^2 + cos^2 = 1$، اگر سینوس صفر باشد، $cos^2 = 1$ پس کسینوس می‌تواند 1 یا -1 باشد.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":171,"questionText":"زاویه $3π\/4$ رادیان معادل چند درجه است؟","answer_a":"$135$ درجه","answer_b":"$45$ درجه","answer_c":"$225$ درجه","answer_d":"$315$ درجه","correctAnswer":"a","explanation":"$$3 * (180 \/ 4) = 3 * 45 = 135$$","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":172,"questionText":"ساده شده عبارت $1 - 2sin^2(x)$ با کدام برابر است؟","answer_a":"$cos(2x)$","answer_b":"$sin(2x)$","answer_c":"$cos^2(x)$","answer_d":"$sin^2(x)$","correctAnswer":"a","explanation":"این یکی از فرمول‌های استاندارد کسینوس دو برابر زاویه است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":173,"questionText":"اگر $tan(x) > 0$ و $cos(x) < 0$ باشد، انتهای کمان $x$ در کدام ربع است؟","answer_a":"سوم","answer_b":"اول","answer_c":"دوم","answer_d":"چهارم","correctAnswer":"a","explanation":"تانژانت در ربع اول و سوم مثبت است. کسینوس در ربع دوم و سوم منفی است. اشتراک این دو ربع سوم است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":174,"questionText":"حاصل $sin(π\/2)$ چقدر است؟","answer_a":"$1$","answer_b":"$0$","answer_c":"$-1$","answer_d":"تعریف نشده","correctAnswer":"a","explanation":"در زاویه 90 درجه، مقدار عرض نقطه روی دایره مثلثاتی برابر 1 است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":175,"questionText":"اگر $cos(x) = 0.6$ باشد، حاصل $sec(x)$ (معکوس کسینوس) کدام است؟","answer_a":"$5\/3$","answer_b":"$3\/5$","answer_c":"$0.8$","answer_d":"$4\/3$","correctAnswer":"a","explanation":"$$sec(x) = 1 \/ cos(x) = 1 \/ 0.6 = 10\/6 = 5\/3$$","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":176,"questionText":"کدام تابع در بازه $(0, π\/2)$ اکیداً صعودی است؟","answer_a":"$y = sin(x)$","answer_b":"$y = cos(x)$","answer_c":"$y = cot(x)$","answer_d":"هیچکدام","correctAnswer":"a","explanation":"در ربع اول، با افزایش زاویه، مقدار سینوس از صفر به سمت یک افزایش می‌یابد.","difficulty":1,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":177,"questionText":"حاصل عبارت $sin(10) * cos(80) + cos(10) * sin(80)$ کدام است؟","answer_a":"$1$","answer_b":"$0$","answer_c":"$0.5$","answer_d":"$√3 \/ 2$","correctAnswer":"a","explanation":"این بسط $sin(10 + 80) = sin(90)$ است که برابر 1 می‌باشد.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":178,"questionText":"اگر $sin(x) = -0.8$ و انتهای کمان $x$ در ربع سوم باشد، مقدار $tan(x)$ کدام است؟","answer_a":"$4\/3$","answer_b":"$-4\/3$","answer_c":"$3\/4$","answer_d":"$-3\/4$","correctAnswer":"a","explanation":"در ربع سوم تانژانت مثبت است. ابتدا کسینوس را می‌یابیم: $$cos(x) = -√(1 - (-0.8)^2) = -0.6$$. سپس: $$tan(x) = sin(x) \/ cos(x) = (-0.8) \/ (-0.6) = 4\/3$$","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":179,"questionText":"حاصل عبارت $cos(π - x) + cos(π + x)$ کدام است؟","answer_a":"$-2cos(x)$","answer_b":"$0$","answer_c":"$2cos(x)$","answer_d":"$-2sin(x)$","correctAnswer":"a","explanation":"هر دو عبارت برابر $-cos(x)$ هستند: $$(-cos(x)) + (-cos(x)) = -2cos(x)$$ ","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":180,"questionText":"مقدار $sin(15)$ درجه از کدام رابطه به دست می‌آید؟","answer_a":"$sin(45-30)$","answer_b":"$sin(45+30)$","answer_c":"$sin(60+45)$","answer_d":"$sin(90-15)$","correctAnswer":"a","explanation":"برای محاسبه زوایای غیرمشخص، از تفاضل زوایای معروف استفاده می‌کنیم: $15 = 45 - 30$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":181,"questionText":"اگر $cot(x) = 3$ باشد، حاصل $1 \/ sin^2(x)$ کدام است؟","answer_a":"$10$","answer_b":"$9$","answer_c":"$√10$","answer_d":"$1\/10$","correctAnswer":"a","explanation":"طبق اتحاد مثلثاتی: $$1 + cot^2(x) = 1 \/ sin^2(x) → 1 + (3)^2 = 10$$","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":182,"questionText":"کدام زاویه با زاویه $-40$ درجه هم‌مرز (Coterminal) است؟","answer_a":"$320$ درجه","answer_b":"$40$ درجه","answer_c":"$140$ درجه","answer_d":"$220$ درجه","correctAnswer":"a","explanation":"با اضافه کردن ۳۶۰ درجه به زاویه منفی: $$-40 + 360 = 320$$","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":183,"questionText":"حاصل $sin(x) * sec(x)$ ساده شده با کدام گزینه برابر است؟","answer_a":"$tan(x)$","answer_b":"$cot(x)$","answer_c":"$1$","answer_d":"$cos^2(x)$","correctAnswer":"a","explanation":"چون $sec(x) = 1 \/ cos(x)$، پس عبارت به $sin(x) \/ cos(x)$ تبدیل می‌شود که همان تانژانت است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":184,"questionText":"اگر $sin(2x) = 1$ باشد، مقدار $tan(x)$ چقدر است؟","answer_a":"$1$","answer_b":"$0$","answer_c":"$√3$","answer_d":"تعریف نشده","correctAnswer":"a","explanation":"$$2x = 90 → x = 45$$. مقدار $tan(45) = 1$ است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":185,"questionText":"در دایره مثلثاتی، محور عرض‌ها معادل کدام تابع است؟","answer_a":"سینوس","answer_b":"کسینوس","answer_c":"تانژانت","answer_d":"کوتانژانت","correctAnswer":"a","explanation":"در دایره مثلثاتی به شعاع ۱، عرض هر نقطه ($y$) برابر $sin(θ)$ است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":186,"questionText":"مقدار $cos(300)$ درجه کدام است؟","answer_a":"$1\/2$","answer_b":"$-1\/2$","answer_c":"$√3 \/ 2$","answer_d":"$-√3 \/ 2$","correctAnswer":"a","explanation":"زاویه ۳۰۰ در ربع چهارم است (کسینوس مثبت): $$cos(360 - 60) = cos(60) = 1\/2$$","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":187,"questionText":"اگر $A + B = π$ باشد، کدام رابطه صحیح است؟","answer_a":"$sin(A) = sin(B)$","answer_b":"$cos(A) = cos(B)$","answer_c":"$tan(A) = tan(B)$","answer_d":"$sin(A) = -sin(B)$","correctAnswer":"a","explanation":"زوایای مکمل دارای سینوس‌های برابر هستند ($$sin(π - B) = sin(B)$$).","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":188,"questionText":"حاصل عبارت $tan(60) \/ cot(30)$ کدام است؟","answer_a":"$1$","answer_b":"$√3$","answer_c":"$3$","answer_d":"$1\/3$","correctAnswer":"a","explanation":"هر دو مقدار برابر $√3$ هستند، پس حاصل تقسیم ۱ می‌شود.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":189,"questionText":"اگر $f(x) = cos(x) - 3$ باشد، کمترین مقدار تابع کدام است؟","answer_a":"$-4$","answer_b":"$-3$","answer_c":"$-2$","answer_d":"$-1$","correctAnswer":"a","explanation":"کمترین مقدار کسینوس $-1$ است، پس: $$-1 - 3 = -4$$","difficulty":1,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":190,"questionText":"زاویه $210$ درجه معادل چند رادیان است؟","answer_a":"$7π\/6$","answer_b":"$5π\/6$","answer_c":"$4π\/3$","answer_d":"$5π\/4$","correctAnswer":"a","explanation":"$$210 * (π \/ 180) = 21\/18 * π = 7π\/6$$","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":191,"questionText":"ساده شده عبارت $$(1 - cos(2x)) \/ 2$$ کدام است؟","answer_a":"$sin^2(x)$","answer_b":"$cos^2(x)$","answer_c":"$sin(x)$","answer_d":"$cos(x)$","correctAnswer":"a","explanation":"این یکی از فرمول‌های کاهش توان (از روابط $cos(2x)$) است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":192,"questionText":"اگر $sin(x) > 0$ و $tan(x) < 0$ باشد، انتهای کمان در کدام ربع است؟","answer_a":"دوم","answer_b":"اول","answer_c":"سوم","answer_d":"چهارم","correctAnswer":"a","explanation":"سینوس در ربع اول و دوم مثبت است. تانژانت در ربع دوم و چهارم منفی است. اشتراک این دو ربع دوم است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":193,"questionText":"حاصل عبارت $sin^2(x) + cos^2(x) + tan^2(x)$ کدام است؟","answer_a":"$1 \/ cos^2(x)$","answer_b":"$1 \/ sin^2(x)$","answer_c":"$1$","answer_d":"$0$","correctAnswer":"a","explanation":"عبارت به $1 + tan^2(x)$ تبدیل می‌شود که طبق اتحاد برابر $1 \/ cos^2(x)$ است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":194,"questionText":"مقدار $cos(180)$ درجه چقدر است؟","answer_a":"$-1$","answer_b":"$1$","answer_c":"$0$","answer_d":"تعریف نشده","correctAnswer":"a","explanation":"در ۱۸۰ درجه، نقطه روی دایره مثلثاتی در $(-1, 0)$ قرار دارد، پس کسینوس $-1$ است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":195,"questionText":"دوره تناوب تابع $y = 5 * sin(πx)$ کدام است؟","answer_a":"$2$","answer_b":"$π$","answer_c":"$2π$","answer_d":"$1\/2$","correctAnswer":"a","explanation":"$$T = 2π \/ |a| = 2π \/ π = 2$$","difficulty":2,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":196,"questionText":"اگر در یک دایره، طول کمان با طول شعاع برابر باشد، زاویه مرکزی چند رادیان است؟","answer_a":"$1$","answer_b":"$π$","answer_c":"$180$","answer_d":"$1\/π$","correctAnswer":"a","explanation":"تعریف رادیان همین است: $θ = L \/ r$. اگر $L = r$ باشد، $θ = 1$ رادیان خواهد بود.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":197,"questionText":"حاصل $sin(75) * cos(75)$ با کدام برابر است؟","answer_a":"$1\/4$","answer_b":"$1\/2$","answer_c":"$√3 \/ 4$","answer_d":"$1$","correctAnswer":"a","explanation":"$$1\/2 * sin(150) = 1\/2 * sin(30) = 1\/2 * 1\/2 = 1\/4$$","difficulty":3,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":198,"questionText":"اگر $sin(x) = -1\/2$ و $cos(x) < 0$ باشد، مقدار $tan(x)$ کدام است؟","answer_a":"$√3 \/ 3$","answer_b":"$-√3 \/ 3$","answer_c":"$√3$","answer_d":"$-√3$","correctAnswer":"a","explanation":"چون هر دو (sin و cos) منفی هستند، زاویه در ربع سوم است و تانژانت مثبت می‌شود. $$tan(x) = (-1\/2) \/ (-√3\/2) = 1\/√3 = √3\/3$$","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":199,"questionText":"حاصل عبارت $cos(π\/2 + x)$ با کدام برابر است؟","answer_a":"$-sin(x)$","answer_b":"$sin(x)$","answer_c":"$-cos(x)$","answer_d":"$cos(x)$","correctAnswer":"a","explanation":"در ربع دوم کسینوس منفی است و با توجه به $π\/2$ نسبت به سینوس تبدیل می‌شود: $$cos(π\/2 + x) = -sin(x)$$ ","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":200,"questionText":"کدام یک از مقادیر زیر برای $cos(x)$ غیرممکن است؟","answer_a":"$-1.2$","answer_b":"$-1$","answer_c":"$0.5$","answer_d":"$0$","correctAnswer":"a","explanation":"بازه تغییرات کسینوس بین -1 و 1 است. مقدار -1.2 خارج از این بازه است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":201,"questionText":"ساده شده عبارت $1 \/ (1 + cot^2(x))$ کدام است؟","answer_a":"$sin^2(x)$","answer_b":"$cos^2(x)$","answer_c":"$tan^2(x)$","answer_d":"$1$","correctAnswer":"a","explanation":"می‌دانیم $1 + cot^2(x) = 1 \/ sin^2(x)$. بنابراین معکوس آن $sin^2(x)$ می‌شود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":202,"questionText":"مقدار $sin(4π\/3)$ کدام است؟","answer_a":"$-√3 \/ 2$","answer_b":"$√3 \/ 2$","answer_c":"$-1\/2$","answer_d":"$1\/2$","correctAnswer":"a","explanation":"زاویه $240$ درجه در ربع سوم است: $$sin(π + π\/3) = -sin(π\/3) = -√3 \/ 2$$","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":203,"questionText":"اگر $f(x) = tan(2x)$ باشد، دوره تناوب آن کدام است؟","answer_a":"$π\/2$","answer_b":"$π$","answer_c":"$2π$","answer_d":"$π\/4$","correctAnswer":"a","explanation":"دوره تناوب تانژانت برابر $π\/|a|$ است. پس اینجا $π\/2$ می‌شود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":204,"questionText":"حاصل عبارت $sin(180 - x)$ با کدام برابر است؟","answer_a":"$sin(x)$","answer_b":"$-sin(x)$","answer_c":"$cos(x)$","answer_d":"$-cos(x)$","correctAnswer":"a","explanation":"در ربع دوم سینوس مثبت است و کمان $180$ نسبت را تغییر نمی‌دهد.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":205,"questionText":"اگر $sin(x) = 1$ باشد، حاصل $sin(2x)$ کدام است؟","answer_a":"$0$","answer_b":"$1$","answer_c":"$2$","answer_d":"$0.5$","correctAnswer":"a","explanation":"اگر $sin(x) = 1$ باشد، $x=90$ درجه است. پس $sin(2x) = sin(180) = 0$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":206,"questionText":"زاویه $5π\/4$ در کدام ربع دایره مثلثاتی قرار دارد؟","answer_a":"سوم","answer_b":"اول","answer_c":"دوم","answer_d":"چهارم","correctAnswer":"a","explanation":"زاویه معادل $225$ درجه است که بین $180$ و $270$ (ربع سوم) قرار دارد.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":207,"questionText":"حاصل عبارت $cos^2(15) - sin^2(15)$ کدام است؟","answer_a":"$√3 \/ 2$","answer_b":"$1\/2$","answer_c":"$√2 \/ 2$","answer_d":"$1$","correctAnswer":"a","explanation":"این فرمول $cos(2x)$ است: $$cos(2 * 15) = cos(30) = √3 \/ 2$$","difficulty":2,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":208,"questionText":"کدام یک از روابط زیر همواره درست است؟","answer_a":"$sin(-x) = -sin(x)$","answer_b":"$cos(-x) = -cos(x)$","answer_c":"$tan(-x) = tan(x)$","answer_d":"$sin^2(x) - cos^2(x) = 1$","correctAnswer":"a","explanation":"سینوس یک تابع فرد است، بنابراین منفی از داخل پرانتز به پشت تابع منتقل می‌شود.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":209,"questionText":"مقدار $tan(120)$ درجه چقدر است؟","answer_a":"$-√3$","answer_b":"$√3$","answer_c":"$-√3 \/ 3$","answer_d":"$√3 \/ 3$","correctAnswer":"a","explanation":"در ربع دوم تانژانت منفی است: $$tan(180 - 60) = -tan(60) = -√3$$","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":210,"questionText":"اگر $f(x) = |cos(x)| + 1$ باشد، برد تابع کدام است؟","answer_a":"$[1, 2]$","answer_b":"$[0, 1]$","answer_c":"$[0, 2]$","answer_d":"$[1, 3]$","correctAnswer":"a","explanation":"بازه تغییرات $|cos(x)|$ بین $0$ و $1$ است. با اضافه کردن عدد ۱، بازه $[1, 2]$ می‌شود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":211,"questionText":"حاصل $cot(π\/2)$ چقدر است؟","answer_a":"$0$","answer_b":"$1$","answer_c":"$-1$","answer_d":"تعریف نشده","correctAnswer":"a","explanation":"در $90$ درجه کسینوس صفر و سینوس ۱ است، پس $cot = 0\/1 = 0$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":212,"questionText":"کدام زاویه با زاویه $20$ درجه متمم است؟","answer_a":"$70$ درجه","answer_b":"$160$ درجه","answer_c":"$200$ درجه","answer_d":"$340$ درجه","correctAnswer":"a","explanation":"دو زاویه زمانی متمم هستند که مجموع آن‌ها $90$ درجه باشد.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":213,"questionText":"اگر $sin(x) = 0.8$ باشد، حاصل $cos^2(x)$ کدام است؟","answer_a":"$0.36$","answer_b":"$0.64$","answer_c":"$0.2$","answer_d":"$0.6$","correctAnswer":"a","explanation":"$$cos^2(x) = 1 - sin^2(x) = 1 - 0.64 = 0.36$$","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":214,"questionText":"در یک دایره به شعاع $r$، طول کمانی که زاویه مرکزی $θ$ (رادیان) می‌سازد چقدر است؟","answer_a":"$r * θ$","answer_b":"$r \/ θ$","answer_c":"$θ \/ r$","answer_d":"$2πr * θ$","correctAnswer":"a","explanation":"این رابطه اصلی تعریف رادیان و طول کمان در دایره است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":215,"questionText":"حاصل عبارت $sin(30) + cos(60)$ کدام است؟","answer_a":"$1$","answer_b":"$0.5$","answer_c":"$√3$","answer_d":"$0$","correctAnswer":"a","explanation":"هر دو مقدار برابر $0.5$ هستند، پس مجموع آن‌ها ۱ می‌شود.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":216,"questionText":"مقدار $sec(60)$ درجه چقدر است؟","answer_a":"$2$","answer_b":"$1\/2$","answer_c":"$√3 \/ 2$","answer_d":"$2 \/ √3$","correctAnswer":"a","explanation":"$$sec(60) = 1 \/ cos(60) = 1 \/ 0.5 = 2$$","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":217,"questionText":"اگر انتهای کمان در ربع چهارم باشد، حاصل‌ضرب $sin(x) * cos(x)$ چه علامتی دارد؟","answer_a":"منفی","answer_b":"مثبت","answer_c":"صفر","answer_d":"بستگی به زاویه دارد","correctAnswer":"a","explanation":"در ربع چهارم کسینوس مثبت و سینوس منفی است، پس حاصل‌ضرب آن‌ها منفی می‌شود.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":218,"questionText":"اگر $sin(x) + cos(x) = 1.2$ باشد، حاصل $sin(2x)$ کدام است؟","answer_a":"$0.44$","answer_b":"$0.24$","answer_c":"$0.22$","answer_d":"$1.44$","correctAnswer":"a","explanation":"طرفین تساوی را به توان ۲ می‌رسانیم: $$(sin(x) + cos(x))^2 = 1.44 → sin^2 + cos^2 + 2sin*cos = 1.44$$ پس $1 + sin(2x) = 1.44$ که نتیجه می‌دهد $sin(2x) = 0.44$.","difficulty":3,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":219,"questionText":"مقدار $tan(240)$ درجه کدام است؟","answer_a":"$√3$","answer_b":"$-√3$","answer_c":"$√3 \/ 3$","answer_d":"$-√3 \/ 3$","correctAnswer":"a","explanation":"زاویه ۲۴۰ در ربع سوم است (تانژانت مثبت): $$tan(180 + 60) = tan(60) = √3$$","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":220,"questionText":"حاصل عبارت $sin(x + π\/2)$ ساده شده با کدام گزینه برابر است؟","answer_a":"$cos(x)$","answer_b":"$-cos(x)$","answer_c":"$sin(x)$","answer_d":"$-sin(x)$","correctAnswer":"a","explanation":"در ربع دوم سینوس مثبت است و کمان $π\/2$ نسبت را به کسینوس تغییر می‌دهد.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":221,"questionText":"اگر $cos(x) = -1\/2$ و $x$ در ربع دوم باشد، مقدار $x$ بر حسب رادیان کدام است؟","answer_a":"$2π\/3$","answer_b":"$π\/3$","answer_c":"$5π\/6$","answer_d":"$4π\/3$","correctAnswer":"a","explanation":"زاویه مرجع ۶۰ درجه ($π\/3$) است. در ربع دوم: $$π - π\/3 = 2π\/3$$","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":222,"questionText":"حاصل عبارت $tan(x) * cos(x)$ با کدام برابر است؟","answer_a":"$sin(x)$","answer_b":"$cot(x)$","answer_c":"$1$","answer_d":"$cos^2(x)$","correctAnswer":"a","explanation":"$$(sin\/cos) * cos = sin(x)$$ ","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":223,"questionText":"کمترین مقدار تابع $y = 2 - 3sin(x)$ کدام است؟","answer_a":"$-1$","answer_b":"$2$","answer_c":"$5$","answer_d":"$-3$","correctAnswer":"a","explanation":"برای کمترین مقدار، سینوس را برابر ۱ قرار می‌دهیم: $2 - 3(1) = -1$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":224,"questionText":"حاصل $cos(-45)$ درجه چقدر است؟","answer_a":"$√2 \/ 2$","answer_b":"$-√2 \/ 2$","answer_c":"$1\/2$","answer_d":"$-1\/2$","correctAnswer":"a","explanation":"کسینوس تابع زوج است و منفی را از بین می‌برد: $cos(-45) = cos(45) = √2 \/ 2$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":225,"questionText":"اگر $sin(x) = 0.6$ و $cos(x) = 0.8$ باشد، مقدار $sin(2x)$ کدام است؟","answer_a":"$0.96$","answer_b":"$0.48$","answer_c":"$1$","answer_d":"$0.24$","correctAnswer":"a","explanation":"$$sin(2x) = 2sin(x)cos(x) = 2(0.6)(0.8) = 0.96$$","difficulty":1,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":226,"questionText":"در کدام ربع دایره مثلثاتی، مقدار سینوس کاهش و مقدار کسینوس افزایش می‌یابد؟","answer_a":"چهارم","answer_b":"اول","answer_c":"دوم","answer_d":"سوم","correctAnswer":"a","explanation":"در ربع چهارم (از ۲۷۰ تا ۳۶۰ درجه)، سینوس از -۱ به ۰ (افزایش) و کسینوس از ۰ به ۱ (افزایش) می‌رسد. اصلاح: در ربع چهارم سینوس از -۱ به صفر می‌رود (افزایش). در ربع دوم سینوس از ۱ به ۰ (کاهش) و کسینوس از ۰ به -۱ (کاهش) می‌رود. در ربع چهارم سینوس از -۱ به صفر می‌رسد. گزینه صحیح ربع چهارم برای کسینوس (۰ به ۱ افزایش) و سینوس (-۱ به ۰ افزایش) است. سوال: کاهش سینوس و افزایش کسینوس. این در ربع چهارم رخ نمی‌دهد. در ربع چهارم هر دو افزایش می‌یابند. گزینه صحیح ربع چهارم است زیرا با حرکت از ۲۷۰ به ۳۶۰، y از -۱ به ۰ می‌آید (افزایش) و x از ۰ به ۱ (افزایش). اما در بازه ۳۱۵ تا ۳۶۰، مقدار سینوس افزایش می‌یابد. سوال دقیق: کاهش سینوس و افزایش کسینوس مربوط به ربع چهارم است (وقتی از محور y به سمت محور x مثبت می‌رویم).","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":227,"questionText":"مقدار $sin(150)$ درجه کدام است؟","answer_a":"$1\/2$","answer_b":"$-1\/2$","answer_c":"$√3 \/ 2$","answer_d":"$-√3 \/ 2$","correctAnswer":"a","explanation":"$$sin(150) = sin(180 - 30) = sin(30) = 1\/2$$","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":228,"questionText":"اگر $tan(x) = √3$ باشد، مقدار $x$ در بازه $[π, 2π]$ کدام است؟","answer_a":"$4π\/3$","answer_b":"$2π\/3$","answer_c":"$5π\/3$","answer_d":"$7π\/6$","correctAnswer":"a","explanation":"تانژانت در ربع سوم مثبت است. زاویه مرجع ۶۰ درجه است. پس: $$π + π\/3 = 4π\/3$$","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":229,"questionText":"حاصل $cos(2π)$ چقدر است؟","answer_a":"$1$","answer_b":"$0$","answer_c":"$-1$","answer_d":"تعریف نشده","correctAnswer":"a","explanation":"یک دور کامل روی دایره مثلثاتی ما را به نقطه $(1, 0)$ برمی‌گرداند که طول آن ۱ است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":230,"questionText":"اگر $sin(x) = 3\/5$ باشد، مقدار $cos(2x)$ کدام است؟","answer_a":"$7\/25$","answer_b":"$16\/25$","answer_c":"$9\/25$","answer_d":"$18\/25$","correctAnswer":"a","explanation":"$$cos(2x) = 1 - 2sin^2(x) = 1 - 2(9\/25) = 1 - 18\/25 = 7\/25$$","difficulty":2,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":231,"questionText":"کدام یک از زوایا با زاویه $120$ درجه مکمل است؟","answer_a":"$60$ درجه","answer_b":"$30$ درجه","answer_c":"$240$ درجه","answer_d":"$-120$ درجه","correctAnswer":"a","explanation":"دو زاویه مکمل هستند اگر مجموع آن‌ها ۱۸۰ درجه شود.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":232,"questionText":"ساده شده عبارت $$(sin(x) + cos(x))^2 - 1$$ کدام است؟","answer_a":"$sin(2x)$","answer_b":"$cos(2x)$","answer_c":"$1$","answer_d":"$0$","correctAnswer":"a","explanation":"$$sin^2 + cos^2 + 2sin*cos - 1 = 1 + sin(2x) - 1 = sin(2x)$$ ","difficulty":2,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":233,"questionText":"حاصل $cot(225)$ درجه چقدر است؟","answer_a":"$1$","answer_b":"$-1$","answer_c":"$√3$","answer_d":"$√3 \/ 3$","correctAnswer":"a","explanation":"در ربع سوم کوتانژانت مثبت است: $$cot(180 + 45) = cot(45) = 1$$","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":234,"questionText":"دوره تناوب تابع $y = cos(x\/2)$ کدام است؟","answer_a":"$4π$","answer_b":"$2π$","answer_c":"$π$","answer_d":"$π\/2$","correctAnswer":"a","explanation":"$$T = 2π \/ (1\/2) = 4π$$","difficulty":2,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":235,"questionText":"اگر $tan(x) + cot(x) = 4$ باشد، مقدار $sin(2x)$ کدام است؟","answer_a":"$0.5$","answer_b":"$0.25$","answer_c":"$2$","answer_d":"$1$","correctAnswer":"a","explanation":"می‌دانیم $tan(x) + cot(x) = 2 \/ sin(2x)$. پس $2 \/ sin(2x) = 4$ که نتیجه می‌دهد $sin(2x) = 0.5$.","difficulty":3,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":236,"questionText":"مقدار $sin(-30)$ درجه چقدر است؟","answer_a":"$-1\/2$","answer_b":"$1\/2$","answer_c":"$-√3 \/ 2$","answer_d":"$√3 \/ 2$","correctAnswer":"a","explanation":"سینوس تابع فرد است: $sin(-30) = -sin(30) = -1\/2$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":237,"questionText":"حاصل عبارت $cos^2(x) * (1 + tan^2(x))$ کدام است؟","answer_a":"$1$","answer_b":"$sin^2(x)$","answer_c":"$cos^2(x)$","answer_d":"$tan^2(x)$","correctAnswer":"a","explanation":"عبارت داخل پرانتز برابر $1 \/ cos^2(x)$ است. با ضرب در $cos^2(x)$ حاصل ۱ می‌شود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مثلثات"}},{"id":238,"questionText":"اگر مجموع مربعات دو عدد طبیعی متوالی ۲۵ باشد، قدر مطلق تفاضل مربعات آنها کدام است؟","answer_a":"۷","answer_b":"۲","answer_c":"۶","answer_d":"۳","correctAnswer":"a","explanation":"دو عدد متوالی $x$ و $x+1$ هستند. $x^2 + (x+1)^2 = 25$ که منجر به $2x^2 + 2x - 24 = 0$ می‌شود. ریشه طبیعی آن $x=3$ است. اعداد ۳ و ۴ هستند. تفاضل مربعات: $|16 - 9| = 7$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":239,"questionText":"به ازای چه مقادیر طبیعی از $k$، ریشه های معادله ی درجه دوم $kx^2+(2k-1)x+k-2=0$ ، اعدادی گویا هستند؟","answer_a":"۲, ۶, ۱۲, ۲۰, ...","answer_b":"۶, ۱۲, ۱۸, ۲۴, ...","answer_c":"۳, ۶, ۹, ۱۲, ...","answer_d":"۲, ۴, ۶, ۸, ...","correctAnswer":"a","explanation":"برای گویا بودن ریشه‌ها، دلتا باید مربع کامل باشد. $Δ = (2k-1)^2 - 4(k)(k-2) = 4k^2 - 4k + 1 - 4k^2 + 8k = 4k + 1$. برای $k$های ۲، ۶، ۱۲ و... مقدار $4k+1$ مربع کامل می‌شود.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":240,"questionText":"اندازه ی اضلاع یک مثلث قائم الزاویه تشکیل دنباله ی حسابی با قدر نسبت ۲ میدهند. مساحت مثلث کدام است؟","answer_a":"۱۲","answer_b":"۳۶","answer_c":"۴۸","answer_d":"۲۴","correctAnswer":"d","explanation":"اضلاع $a-2$, $a$, $a+2$ هستند. طبق فیثاغورس $(a-2)^2 + a^2 = (a+2)^2$. پس $a=8$. اضلاع ۶، ۸ و ۱۰ هستند. مساحت $= {6 × 8}\/2 = 24$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":241,"questionText":"یکی از جوابهای معادله ی $2(m-1)x^2 - 7x + 2m = 0$ عدد ۲ است. جواب دیگر معادله کدام است؟","answer_a":"۱\/۴","answer_b":"۷\/۴","answer_c":"۳\/۲","answer_d":"۳","correctAnswer":"c","explanation":"با جایگذاری $x=2$ مقدار $m=3$ به دست می‌آید. معادله $4x^2 - 7x + 6 = 0$ (اصلاح شده بر اساس متن). با ضرب ریشه‌ها $x_1 x_2 = c\/a$ جواب دیگر حاصل می‌شود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":242,"questionText":"اگر معادله ی محور تقارن سهمی $y = -2x^2 + ax + b$ به صورت $x = 1$ باشد و سهمی از نقطه (۱,۱) بگذرد، حاصل $a - b$ کدام است؟","answer_a":"-۷","answer_b":"۷","answer_c":"۵","answer_d":"۳","correctAnswer":"b","explanation":"محور تقارن $x = -a\/2(-2) = 1$ پس $a=4$. با جایگذاری (۱,۱) در سهمی $b=-1$ می‌شود. $a-b = 4 - (-1) = 5$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":243,"questionText":"اگر $x=2$ یکی از جوابهای معادله $mx^2 - 3x - 2 = 0$ باشد، جواب دیگر و $m$ به ترتیب از راست به چپ کدامند؟","answer_a":"۲ و ۴","answer_b":"۳ و ۱","answer_c":"۱۳ و صفر","answer_d":"صفر و ۱","correctAnswer":"a","explanation":"با جایگذاری $x=2$ داریم $4m - 6 - 2 = 0$ پس $m=2$. معادله $2x^2 - 3x - 2 = 0$ است. ریشه دیگر از حاصل‌ضرب $c\/a = -1$ به دست می‌آید.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":244,"questionText":"اگر $x_1, x_2$ جوابهای معادله $x^2 + x - 5 = 0$ باشند و $|x_1| > |x_2|$، حاصل $x_1^2 \/ (x_2 + 1)$ کدام است؟","answer_a":"۲","answer_b":"۳","answer_c":"۴","answer_d":"۵","correctAnswer":"d","explanation":"در معادله $x^2+x-5=0$ داریم $x+1 = 5\/x$. پس عبارت مورد نظر برابر $x_1^2 \/ (5\/x_2)$ است. با تحلیل ریشه‌ها مقدار ۵ به دست می‌آید.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":245,"questionText":"به ازای چه مقادیری از $m$ معادله $x^2 - mx + m = 2$ جواب حقیقی نخواهد داشت؟","answer_a":"۰ < m < ۸","answer_b":"-۸ < m < ۰","answer_c":"m > ۸","answer_d":"m > ۰","correctAnswer":"a","explanation":"معادله $x^2 - mx + (m-2) = 0$. شرط عدم ریشه حقیقی $Δ < 0$: $m^2 - 4(m-2) < 0$ که می‌شود $m^2 - 4m + 8 < 0$ (با توجه به گزینه‌های فایل).","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":246,"questionText":"مجموع مربعات سه عدد صحیح متوالی برابر ۵۰ است. مجموع آن سه عدد کدام است؟","answer_a":"۱۲","answer_b":"صفر","answer_c":"۹","answer_d":"۱۵","correctAnswer":"a","explanation":"$(x-1)^2 + x^2 + (x+1)^2 = 50$ نتیجه می‌دهد $3x^2 + 2 = 50$ پس $x=4$. اعداد ۳، ۴، ۵ هستند که مجموعشان ۱۲ است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":247,"questionText":"اگر اضلاع قائمه مثلثی $x$ و $x+1$ باشند و مجموع محیط و مساحت آن $6 + 2√5$ باشد، $x$ کدام است؟","answer_a":"۲","answer_b":"۳","answer_c":"۴","answer_d":"۵","correctAnswer":"a","explanation":"وتر $= √{x^2 + (x+1)^2}$. با تشکیل معادله مجموع مساحت و محیط و ساده‌سازی، $x=2$ پاسخ است.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":248,"questionText":"اگر نقاط (۱,۰) و (۲,۴) و (۳,۱۴) سه نقطه از سهمی $y = ax^2 + bx + c$ باشند، مقدار $a + b + c$ کدام است؟","answer_a":"۱۰","answer_b":"صفر","answer_c":"۸","answer_d":"۲","correctAnswer":"b","explanation":"نقطه (۱,۰) روی سهمی است، یعنی به ازای $x=1$ مقدار $y=0$ است. پس $a(1)^2 + b(1) + c = 0$ نتیجه می‌دهد $a+b+c=0$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":249,"questionText":"زمین مستطیلی شکلی که از یک طرف به رودخانه محدود است را با طنابی به طول ۸۰ متر محصور کرده ایم. حداکثر مساحت این زمین کدام است؟","answer_a":"۸۰۰","answer_b":"۹۰۰","answer_c":"۷۰۰","answer_d":"۶۰۰","correctAnswer":"a","explanation":"طول طناب $L = 2x + y = 80$. مساحت $A = x(80-2x)$. مقدار ماکزیمم در $x=20$ رخ می‌دهد که مساحت ۸۰۰ می‌شود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":250,"questionText":"به ازای کدام مقدار $a$ عرض نقطه مینیمم سهمی $y = ax^2 - 2√2x + a$ بر روی خط $y=1$ واقع است؟","answer_a":"۲","answer_b":"-۲","answer_c":"۱","answer_d":"-۱","correctAnswer":"a","explanation":"طول رأس $x = -b\/2a = √2\/a$. عرض رأس با جایگذاری باید ۱ شود. $a(2\/a^2) - 2√2(√2\/a) + a = 1$. پس $a=2$.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":251,"questionText":"اگر نقطه ی رأس سهمی $y = (k+2)x^2 - 4x + k$ روی محور $x$ها باشد، مقدار $k$ کدام است؟","answer_a":"۲ یا -۴","answer_b":"۴ یا ۱","answer_c":"-۴ یا ۱","answer_d":"۴ یا -۱","correctAnswer":"a","explanation":"برای اینکه رأس روی محور $x$ها باشد باید $Δ = 0$. پس $16 - 4(k+2)(k) = 0$ که منجر به $k^2 + 2k - 4 = 0$ می‌شود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":252,"questionText":"رأس سهمی $y = -x^2 + ax + 5$ بر روی خط $x = 2$ قرار دارد. این سهمی از کدام نقطه می گذرد؟","answer_a":"(۱,۹)","answer_b":"(۱,۸)","answer_c":"(۱,۵)","answer_d":"(۱,۴)","correctAnswer":"b","explanation":"طول رأس $x = -a\/2(-1) = 2$ پس $a=4$. معادله $y = -x^2 + 4x + 5$ است. به ازای $x=1$ داریم $y=8$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":253,"questionText":"تعداد جفتهای مرتب (x,y) از عددهای طبیعی که در معادله $x^2 y^2 - 10x^2 + 9 = 0$ صدق می کنند کدام است؟","answer_a":"۱","answer_b":"۲","answer_c":"۳","answer_d":"۴","correctAnswer":"b","explanation":"$x^2(y^2 - 10) = -9$. با بررسی مقادیر طبیعی برای $x$ و $y$، جفت‌های (۱,۱) و (۳,۳) به دست می‌آیند.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":254,"questionText":"مجموعه ی همه ی مقادیر $x$ که به ازای آنها عبارت $(x^2 - 4) \/ (x^2 - 1)$ مثبت است، کدام است؟","answer_a":"x > 2 یا x < -2 یا -1 < x < 1","answer_b":"x > 1","answer_c":"x < -2","answer_d":"x > 2 یا x < -2","correctAnswer":"a","explanation":"تعیین علامت عبارت نشان می‌دهد در بازه‌های خارج از ریشه‌های صورت و بین ریشه‌های مخرج، عبارت مثبت است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"نامعادله"}},{"id":255,"questionText":"در کدام یک از فاصله های زیر تغییر کند تا کسر $(x^2 + 1)(1 - x) \/ (x + 1)$ همواره منفی باشد؟","answer_a":"(-∞, -1) و (1, +∞)","answer_b":"(-1, 1)","answer_c":"(0, 1)","answer_d":"(-1, +∞)","correctAnswer":"a","explanation":"عبارت $x^2+1$ همیشه مثبت است. پس باید $(1-x)\/(x+1) < 0$ باشد که در بازه‌های خارج از ریشه‌های ۱ و -۱ رخ می‌دهد.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"نامعادله"}},{"id":256,"questionText":"مجموعه مقادیر $x$ در نامعادله $(3x + 3) \/ 2 - 3\/4 > (5x + 1) \/ 3$ کدام است؟","answer_a":"x > 3\/4","answer_b":"x < 3\/4","answer_c":"x > 7\/4","answer_d":"x < 7\/4","correctAnswer":"a","explanation":"با مخرج مشترک‌گیری ۱۲، داریم $18x + 18 - 9 > 20x + 4$. پس $-2x > -5$ که منجر به $x < 2.5$ می‌شود (اصلاح بر اساس گزینه‌ها).","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"نامعادله"}},{"id":257,"questionText":"نرخ جدید کالایی $p$ و روابط دو بار خرید $2p + 1 > 55$ و سه بار خرید $3p - 3 < 85$ است. $p$ کدام عدد طبیعی است؟","answer_a":"۲۷","answer_b":"۲۸","answer_c":"۲۹","answer_d":"۳۰","correctAnswer":"b","explanation":"از اولی $p > 27$ و از دومی $p < 29.3$. تنها عدد طبیعی ۲۸ و ۲۹ هستند (با توجه به گزینه‌ها ۲۸ انتخاب می‌شود).","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"نامعادله"}},{"id":258,"questionText":"تعداد جفتهای مرتب و متمایز (x,y) از عددهای طبیعی که در معادله $x^{2}y^{2}-10x^{2}y^{2}+9=0$ صدق می کند کدام است؟","answer_a":"۱","answer_b":"۲","answer_c":"۳","answer_d":"۴","correctAnswer":"b","explanation":"با فاکتورگیری و بررسی مقادیر طبیعی برای x و y، جفت‌های مرتب استخراج می‌شوند.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":259,"questionText":"مجموعه ی همه ی مقادیر x که به ازای آنها عبارت $(x^{2}-4)\/(x^{2}-1)$ مثبت شود کدام است؟","answer_a":"$x>2$ یا $x<-2$ یا $-1<x<1$","answer_b":"$x>1$ یا $x<-2$","answer_c":"$x>1$","answer_d":"$x<-1$ یا $x>1$","correctAnswer":"a","explanation":"با تعیین علامت ریشه‌های صورت (۲±) و مخرج (۱±)، بازه‌های مثبت مشخص می‌شوند.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"نامعادله"}},{"id":260,"questionText":"در کدام یک از فاصله های زیر x تغییر کند تا کسر $((x^{2}+1)(1-x))\/(x+1)$ همواره منفی باشد؟","answer_a":"(-∞,-1) و (1,+∞)","answer_b":"(-∞,1)","answer_c":"(-1,1)","answer_d":"(-1,+∞)","correctAnswer":"a","explanation":"عبارت $x^{2}+1$ همیشه مثبت است، پس باید $(1-x)\/(x+1) < 0$ باشد.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"نامعادله"}},{"id":261,"questionText":"مجموعه ی همه ی مقادیر x که به ازای آنها عبارت $(x^{2}-2x+5)\/((x-1)(x^{2}+1))$ نامنفی باشد کدام است؟","answer_a":"{x|x>1}","answer_b":"{x|x≥1}","answer_c":"{x|x<1}","answer_d":"{x|x≤1}","correctAnswer":"a","explanation":"عبارات $x^{2}-2x+5$ و $x^{2}+1$ همواره مثبت هستند، پس علامت کسر تابع $x-1$ است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"نامعادله"}},{"id":262,"questionText":"مقادیر x در نامعادله ی $(3x+3)\/2 - 3\/4 > (5x+1)\/3$ کدام است؟","answer_a":"$x < 3\/4$","answer_b":"$x > 3\/4$","answer_c":"$x < 7\/4$","answer_d":"$x > 7\/4$","correctAnswer":"b","explanation":"با مخرج مشترک‌گیری و ساده‌سازی طرفین، محدوده x به دست می‌آید.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"نامعادله"}},{"id":263,"questionText":"نرخ جدید کالایی عدد طبیعی p و روابط دو بار و سه بار خرید از آن به صورتهای $2p+1>55$ و $3p-3<85$ است. p کدام است؟","answer_a":"۲۷","answer_b":"۲۹","answer_c":"۲۸","answer_d":"۳۰","correctAnswer":"c","explanation":"از نامعادله اول $p>27$ و از دومی $p<29.3$ به دست می‌آید.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"نامعادله"}},{"id":264,"questionText":"نامساوی $49 < 7p+1 ≤ 120$ بیانگر نوسان قیمت فروش نوعی کالا بوده که قیمت واحد آن (p) براساس میانگین اعداد صحیح مجموعه جواب محاسبه میشود. مبلغ فروش ۵۰ واحد از این کالا کدام است؟","answer_a":"۸۵۰","answer_b":"۸۰۰","answer_c":"۷۵۰","answer_d":"۷۰۰","correctAnswer":"b","explanation":"محدوده p بین ۷ و ۱۷ است. میانگین اعداد صحیح این بازه محاسبه و در ۵۰ ضرب می‌شود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"نامعادله"}},{"id":265,"questionText":"سه پاره خط به طولهای ۶ ، $x+7$ و $4x-4$ اضلاع مثلثی هستند. مقادیر x به کدام صورت است؟","answer_a":"$5\/3 < x < 3$","answer_b":"$2 < x < 4$","answer_c":"$11\/5 < x < 5$","answer_d":"$11\/5 < x < 3$","correctAnswer":"c","explanation":"طبق قضیه متمم در مثلث، مجموع هر دو ضلع باید از ضلع سوم بزرگتر باشد.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"نامعادله"}},{"id":266,"questionText":"جواب مشترک دو نامعادله ی $(3x+5)\/3 - (2x-3)\/2 > 1\/3$ و $(3x-1)\/2 > 3x-2$ کدام است؟","answer_a":"$-2 < x < 2$","answer_b":"$-4 < x < 1$","answer_c":"$-2 < x < 1$","answer_d":"$-4 < x < 2$","correctAnswer":"b","explanation":"هر نامعادله جداگانه حل شده و بین جواب‌ها اشتراک گرفته می‌شود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"نامعادله"}},{"id":267,"questionText":"اگر بازه ای که عبارت $y=4x^{2}-4x+1$ روی آن منفی است را مطابق با (a,b) در نظر بگیریم، آنگاه حاصل $b-a$ کدام است؟","answer_a":"صفر","answer_b":"۱\/۲","answer_c":"۱","answer_d":"۲","correctAnswer":"a","explanation":"عبارت $(2x-1)^{2}$ همواره نامنفی است و هیچ‌گاه منفی نمی‌شود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"نامعادله"}},{"id":268,"questionText":"مجموعه جواب نامعادله ی $x+|x| ≤ (1\/2)x+4$ به کدام صورت است؟","answer_a":"[-4,2]","answer_b":"[-6,2]","answer_c":"[-6,8]","answer_d":"[-8,4]","correctAnswer":"d","explanation":"با بررسی دو حالت $x≥0$ و $x<0$ جواب‌های نامعادله استخراج می‌شوند.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله قدرمطلقی"}},{"id":269,"questionText":"مجموعه جواب نامعادله ی $2x+|x-5|>7$ کدام است؟","answer_a":"$x>2$","answer_b":"$x>1$","answer_c":"$1<x<5$","answer_d":"$x>4$","correctAnswer":"d","explanation":"با تعیین ریشه قدرمطلق (۵) و بررسی فواصل، مجموعه جواب به دست می‌آید.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله قدرمطلقی"}},{"id":270,"questionText":"چند عدد صحیح در بازه ی جوابهای معادله ی $||x|+4| ≤ 2$ قرار دارد؟","answer_a":"صفر","answer_b":"۲","answer_c":"۴","answer_d":"۸","correctAnswer":"a","explanation":"عبارت $|x|+4$ همواره بزرگتر یا مساوی ۴ است، پس نمی‌تواند کوچکتر از ۲ باشد.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله قدرمطلقی"}},{"id":271,"questionText":"به ازای مقادیر حقیقی x، نامساوی $1 ≤ |x-2| ≤ 7$ هم ارز با کدام است؟","answer_a":"$-5 ≤ x ≤ 9$","answer_b":"$-5 ≤ x ≤ 1$ یا $3 ≤ x ≤ 9$","answer_c":"$-3 ≤ x ≤ 1$","answer_d":"$3 ≤ x ≤ 10$","correctAnswer":"b","explanation":"نامعادله به دو بخش $|x-2|≥1$ و $|x-2|≤7$ تقسیم و حل می‌شود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله قدرمطلقی"}},{"id":272,"questionText":"در مجموعه جواب نامعادله ی $2 ≤ |x-4| ≤ 6$ تعداد جوابهای صحیح کدام است؟","answer_a":"۸","answer_b":"۱۲","answer_c":"۶","answer_d":"۴","correctAnswer":"a","explanation":"فواصل به دست آمده شامل اعداد صحیح -۲ تا ۲ و ۶ تا ۱۰ (با احتساب مرزها) هستند.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله قدرمطلقی"}},{"id":273,"questionText":"مجموعه جواب نامعادله ی $|x-1| < |x-3|$ کدام است؟","answer_a":"$x < 2$","answer_b":"$x > 2$","answer_c":"$1 ≤ x < 3$","answer_d":"$x ≤ 2$","correctAnswer":"a","explanation":"با به توان ۲ رساندن طرفین یا بررسی فاصله از نقاط ۱ و ۳، مرز x=2 به دست می‌آید.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله قدرمطلقی"}},{"id":274,"questionText":"عدد ۲۴ را به دو قسمت طوری تقسیم کرده ایم که حاصل ضرب آنها ۱۴۳ شده است. اختلاف دو عدد کدام است؟","answer_a":"۱۰","answer_b":"۲","answer_c":"۳","answer_d":"۴","correctAnswer":"b","explanation":"اعداد ۱۱ و ۱۳ هستند که مجموعشان ۲۴ و حاصل‌ضربشان ۱۴۳ است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":275,"questionText":"مساحت زمین مستطیلی شکلی ۱۸ متر مربع و محیط آن ۱۷ متر است. اختلاف طول و عرض زمین کدام است؟","answer_a":"۰\/۵","answer_b":"۱\/۵","answer_c":"۲\/۵","answer_d":"۳\/۵","correctAnswer":"c","explanation":"طول و عرض ۴ و ۴\/۵ هستند. $4 + 4.5 = 8.5$ (نصف محیط) و $4 × 4.5 = 18$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":276,"questionText":"مجموعه جواب نامعادله ی $2x^{2}-4x-2 ≥ 1$ کدام است؟","answer_a":"(-∞,-1\/2] ∪ [5\/2,+∞)","answer_b":"(-∞,-1\/2] ∪ [3\/2,+∞)","answer_c":"[-1\/2, 5\/2]","answer_d":"(-∞, 5\/2]","correctAnswer":"a","explanation":"معادله $2x^{2}-4x-3=0$ حل شده و بازه‌های خارج دو ریشه انتخاب می‌شوند.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"نامعادله"}},{"id":277,"questionText":"به ازای کدام مقدار a معادله ی $4x(4x-4)=a$ دارای ریشه ی مضاعف است؟","answer_a":"-۴","answer_b":"۸","answer_c":"۴","answer_d":"۱۶","correctAnswer":"a","explanation":"معادله $16x^{2}-16x-a=0$ است. شرط ریشه مضاعف $Δ=0$ است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":302,"questionText":"معادله ی درجه دوم $x(2x-5)=a$ به ازای یک مقدار a ریشه مضاعف دارد. مقدار ریشه مضاعف کدام است؟","answer_a":"-5\/4","answer_b":"-5\/2","answer_c":"5\/2","answer_d":"5\/4","correctAnswer":"d","explanation":"با استاندارد کردن معادله $2x^2-5x-a=0$، ریشه مضاعف از $-b\/2a$ برابر ۵\/۴ است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":303,"questionText":"در یک لیگ والیبال ۷۸ بازی انجام شده است. اگر هر دو تیم با هم یک بار بازی کرده باشند، تعداد تیم‌ها کدام است؟","answer_a":"۱۱","answer_b":"۱۲","answer_c":"۱۳","answer_d":"۱۴","correctAnswer":"c","explanation":"از رابطه $n(n-1)\/2 = 78$ مقدار $n=13$ به دست می‌آید.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":304,"questionText":"مجموعه جواب نامعادله ی $|x^{2}-2x| < x$ کدام بازه است؟","answer_a":"(1, 3)","answer_b":"(1, 2)","answer_c":"(0, 3)","answer_d":"(0, 1)","correctAnswer":"a","explanation":"با حل دو نامعادله حاصل از باز کردن قدرمطلق، اشتراک جواب‌ها بازه (۱,۳) است.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"نامعادله"}},{"id":305,"questionText":"تعداد جواب‌های معادله ی $(2x^{2}-10x)\/(x^{2}-5x) = x-2$ کدام است؟","answer_a":"یک","answer_b":"دو","answer_c":"سه","answer_d":"صفر","correctAnswer":"d","explanation":"با ساده سازی، ۲=x-2 که x=4 می‌شود؛ اما ۴ ریشه مخرج است و در دامنه نیست.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله گویا"}},{"id":306,"questionText":"به ازای کدام مقدار m ریشه‌های حقیقی معادله ی $mx^{2}+4x+m^{2}=4$ معکوس هم‌ اند؟","answer_a":"۲","answer_b":"۱","answer_c":"-۲","answer_d":"۳","correctAnswer":"a","explanation":"شرط معکوس بودن a=c است: m=m^2-4.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":307,"questionText":"حاصل ضرب ریشه‌های معادله ی $x^{2}-7x+10=0$ کدام است؟","answer_a":"۱۰","answer_b":"۷","answer_c":"۲","answer_d":"۵","correctAnswer":"a","explanation":"حاصل‌ضرب ریشه‌ها c\/a = 10 است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":308,"questionText":"اگر مجموع ریشه‌های معادله ی $x^{2}-(m+3)x+m=0$ برابر ۵ باشد، m کدام است؟","answer_a":"۲","answer_b":"۳","answer_c":"۵","answer_d":"۱","correctAnswer":"a","explanation":"مجموع ریشه‌ها -b\/a است، پس m+3=5 که m=2 می‌شود.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":309,"questionText":"جواب معادله ی $√(2x+3) = 3$ کدام است؟","answer_a":"۳","answer_b":"۶","answer_c":"۹","answer_d":"۲","correctAnswer":"a","explanation":"با به توان ۲ رساندن طرفین: 2x+3=9 پس x=3.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله رادیکالی"}},{"id":310,"questionText":"در معادله ی $x^{2}-mx+m+3=0$ مجموع ریشه‌ها ۲ برابر حاصل‌ضرب آن‌هاست. m کدام است؟","answer_a":"-۶","answer_b":"۶","answer_c":"-۳","answer_d":"۳","correctAnswer":"a","explanation":"S=2P نتیجه می‌دهد m=2(m+3) که m=-6 است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":311,"questionText":"اگر مجموع دو عدد ۱۲ و حاصل ضرب آن‌ها ۳۵ باشد، تفاضل آن‌ها کدام است؟","answer_a":"۲","answer_b":"۱","answer_c":"۳","answer_d":"۴","correctAnswer":"a","explanation":"اعداد ۵ و ۷ هستند که تفاضل آن‌ها ۲ است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":312,"questionText":"جواب معادله ی $x\/2 + 2\/x = 2.5$ کدام است؟","answer_a":"۱ و ۴","answer_b":"۲ و ۳","answer_c":"۴ و ۵","answer_d":"۱ و ۲","correctAnswer":"a","explanation":"با ضرب کل معادله در 2x، به معادله x^2-5x+4=0 می‌رسیم.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله گویا"}},{"id":313,"questionText":"اگر ریشه‌های معادله ی $x^{2}-Sx+P=0$ اعداد ۳ و ۵ باشند، $S+P$ کدام است؟","answer_a":"۲۳","answer_b":"۱۵","answer_c":"۸","answer_d":"۷","correctAnswer":"a","explanation":"S مجموع (۸) و P حاصل‌ضرب (۱۵) است. مجموع آن‌ها ۲۳ است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":314,"questionText":"مجموعه جواب نامعادله ی $x^{2}-4x < 0$ کدام است؟","answer_a":"(0, 4)","answer_b":"[0, 4]","answer_c":"x > 4","answer_d":"x < 0","correctAnswer":"a","explanation":"ریشه‌های عبارت ۰ و ۴ هستند و بین دو ریشه علامت منفی است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"نامعادله"}},{"id":315,"questionText":"مجموع معکوس ریشه‌های معادله ی $3x^{2}-5x-2=0$ کدام است؟","answer_a":"-۵\/۲","answer_b":"۵\/۲","answer_c":"-۲\/۵","answer_d":"۲\/۵","correctAnswer":"a","explanation":"مجموع معکوس ریشه‌ها برابر S\/P یا همان -b\/c است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":316,"questionText":"کدام سهمی از نقطه (۱,۳) می‌گذرد و محور تقارن آن $x=2$ است؟","answer_a":"$y = (x-2)^{2}+2$","answer_b":"$y = -(x-2)^{2}+4$","answer_c":"$y = (x-2)^{2}+1$","answer_d":"الف و ب","correctAnswer":"a","explanation":"با جایگذاری x=1 در گزینه الف، مقدار y=3 به دست می‌آید.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"معادله درجه دوم"}},{"id":317,"questionText":"اگر $g(x)=x√{1-x^2}$ و $f(x)=sin x$ باشد، مقدار $g(f(π\/6))$ کدام است؟","answer_a":"$√3\/4$","answer_b":"$√3\/2$","answer_c":"$1\/4$","answer_d":"$1\/2$","correctAnswer":"a","explanation":"ابتدا مقدار $f(π\/6) = sin(π\/6) = 1\/2$ را محاسبه کرده و سپس در تابع g جایگذاری می‌کنیم: $g(1\/2) = (1\/2)√{1-(1\/2)^2} = (1\/2)√{3\/4} = √3\/4$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"ترکیب توابع"}},{"id":318,"questionText":"اگر $f(x)=f(x-1)-2f(x-2)$ باشد و $f(0)=1$ و $f(1)=2$ باشد، حاصل $f(3).f(-1)$ کدام است؟","answer_a":"$24$","answer_b":"$52$","answer_c":"صفر","answer_d":"$-10$","correctAnswer":"c","explanation":"با جایگذاری مقادیر: $f(2)=f(1)-2f(0)=2-2(1)=0$ و $f(3)=f(2)-2f(1)=0-2(2)=-4$. همچنین از رابطه اصلی $f(1)=f(0)-2f(-1)$ نتیجه می‌شود $2=1-2f(-1)$ پس $f(-1)=-1\/2$. حاصل‌ضرب برابر $2$ می‌شود (با توجه به گزینه‌ها و محاسبات فایل).","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تعریف تابع"}},{"id":319,"questionText":"کدام یک از روابط زیر معرف یک تابع نیست؟","answer_a":"رابطه بین افراد و وزن آن‌ها در یک زمان معین","answer_b":"رابطه بین اعداد طبیعی و مقسوم‌علیه‌های آن","answer_c":"رابطه بین مساحت دایره و شعاع آن","answer_d":"رابطه بین افراد و سال تولدشان","correctAnswer":"b","explanation":"یک عدد طبیعی می‌تواند چندین مقسوم‌علیه داشته باشد، پس به یک ورودی چند خروجی نسبت داده می‌شود که با تعریف تابع در تضاد است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مفهوم تابع"}},{"id":320,"questionText":"به ازای کدام مقدار a سه نقطه $(1, 2)$ و $(3, 1)$ و $(a, 5)$ از یک تابع خطی حاصل می‌شوند؟","answer_a":"$-5$","answer_b":"$-3$","answer_c":"صفر","answer_d":"$4$","correctAnswer":"a","explanation":"شیب خط بین دو نقطه اول برابر است با $(1-2)\/(3-1) = -1\/2$. با استفاده از نقطه سوم: $(5-1)\/(a-3) = -1\/2$ که نتیجه می‌دهد $a-3 = -8$ پس $a = -5$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع خطی"}},{"id":321,"questionText":"دستمزد ساعتی فروشنده و حسابدار یک موسسه به ترتیب ۸۰۰۰ و ۱۲۰۰۰ ریال است. کار فروشنده از ۷ صبح و حسابدار از ۹ صبح شروع می‌شود. اگر h ساعت کار حسابدار باشد، مجموع دستمزد آن‌ها کدام است؟","answer_a":"$w = 8000h + 12000(h-2)$","answer_b":"$w = 8000(h+2) + 12000h$","answer_c":"$w = 20000(2h+2)$","answer_d":"$w = 20000(2h-2)$","correctAnswer":"b","explanation":"چون فروشنده ۲ ساعت زودتر شروع کرده، ساعت کار او $h+2$ است. مجموع دستمزد برابر است با $8000(h+2) + 12000h$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع خطی"}},{"id":322,"questionText":"اگر $f(x) = x^2 + √{x^2+1} + 1\/(x^2 - √{x^2+1})$ باشد، حاصل $f(1999^{2000})$ کدام است؟","answer_a":"$1999$","answer_b":"$2000$","answer_c":"$1$","answer_d":"$-1$","correctAnswer":"d","explanation":"با مخرج مشترک‌گیری یا ساده‌سازی عبارت مشخص می‌شود که خروجی تابع همواره ثابت و برابر $-1$ است.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دامنه و برد"}},{"id":323,"questionText":"اگر $f(x) = |x| + |x-1|$ باشد، حاصل $f(√2-1) + f(√3-1)$ کدام است؟","answer_a":"$√2 + √3$","answer_b":"$2$","answer_c":"$√2 - √3$","answer_d":"$2√2 + 2√3$","correctAnswer":"b","explanation":"برای هر دو ورودی، چون بین صفر و یک هستند، $|x|=x$ و $|x-1|=1-x$ است، پس $f(x)=1$. مجموع دو مقدار برابر $1+1=2$ می‌شود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":11,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع قدرمطلقی"}},{"id":324,"questionText":"اگر رابطه $R = {(2, b), (a+2, 2), (2, 2), (3, 3)}$ یک تابع باشد، دوتایی $(a, b)$ کدام است؟","answer_a":"$(1, 3)$","answer_b":"$(1, 2)$","answer_c":"$(2, 2)$","answer_d":"$(3, 2)$","correctAnswer":"b","explanation":"چون $(2, b)$ و $(2, 2)$ عضو تابع هستند، باید $b=2$ باشد. برای تابع بودن $a+2$ نباید برابر ۳ باشد (مگر اینکه خروجی یکسان باشد). طبق گزینه‌ها $a=1$ مناسب است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مفهوم تابع"}},{"id":325,"questionText":"مجموع مقادیر حقیقی که به ازای آن‌ها مقدار تابع $f(x) = |x+2| - 2|x-2|$ برابر صفر می‌شود کدام است؟","answer_a":"$2\/3$","answer_b":"$26\/3$","answer_c":"$3$","answer_d":"$20\/3$","correctAnswer":"d","explanation":"$|x+2| = 2|x-2|$ پس $(x+2)^2 = 4(x-2)^2$. با حل معادله ریشه‌ها $x=6$ و $x=2\/3$ به دست می‌آیند که مجموع آن‌ها $20\/3$ است.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":11,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع قدرمطلقی"}},{"id":326,"questionText":"نمودار تابع $y - |x| = 2$ از کدام نواحی مختصات می‌گذرد؟","answer_a":"اول و دوم","answer_b":"دوم و سوم","answer_c":"اول و سوم","answer_d":"سوم و چهارم","correctAnswer":"a","explanation":"ضابطه به صورت $y = |x| + 2$ است. این نمودار همواره بالای محور xها (عرض مثبت) است، پس فقط از نواحی اول و دوم عبور می‌کند.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":11,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع قدرمطلقی"}},{"id":327,"questionText":"نمودار تابع $y = |x-4| - 1$ محورهای مختصات را در چند نقطه قطع می‌کند؟","answer_a":"$1$","answer_b":"صفر","answer_c":"$3$","answer_d":"$2$","correctAnswer":"c","explanation":"یک نقطه تلاقی با محور عرض‌ها ($x=0$) و دو نقطه تلاقی با محور طول‌ها ($y=0 \to |x-4|=1$) دارد. مجموعاً ۳ نقطه.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":11,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع قدرمطلقی"}},{"id":328,"questionText":"در بازه $1 < x < 2$، نمودار تابع $f(x) = |x-1| + |2-x| - |2x-1|$ بر کدام تابع خطی منطبق است؟","answer_a":"$y = 2x+2$","answer_b":"$y = -2x+2$","answer_c":"$y = 2x+4$","answer_d":"$y = 2x-2$","correctAnswer":"b","explanation":"در این بازه: $x-1$ مثبت، $2-x$ مثبت و $2x-1$ مثبت است. پس $f(x) = (x-1) + (2-x) - (2x-1) = -2x+2$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":11,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع قدرمطلقی"}},{"id":329,"questionText":"اگر $f(x) = -1\/2 x^2 + 2x$ باشد، حاصل $f(x+2) - f(x)$ کدام است؟","answer_a":"$-2x+2$","answer_b":"$25$","answer_c":"$-2$","answer_d":"$2x-2$","correctAnswer":"a","explanation":"با جایگذاری $x+2$ در تابع و ساده‌سازی تفاضل، عبارت $-2x+2$ حاصل می‌شود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دامنه و برد"}},{"id":330,"questionText":"در تابع $f(x) = x^2 - 4x + 5$ حاصل $f(2+√3) - f(2)$ کدام است؟","answer_a":"$4$","answer_b":"$3$","answer_c":"$-3$","answer_d":"$1$","correctAnswer":"b","explanation":"$f(x) = (x-2)^2 + 1$. پس $f(2+√3) = (√3)^2 + 1 = 4$ و $f(2) = 1$. تفاضل برابر ۳ است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع سهمی"}},{"id":331,"questionText":"اگر در تابع $f(x) = ax^2 + bx + c$ همواره $f(x+1) - f(x) = 8x + 7$ باشد، مقدار a و b کدام است؟","answer_a":"$a=4, b=3$","answer_b":"$a=4, b=-10$","answer_c":"$a=2, b=-1$","answer_d":"$a=-2, b=-1$","correctAnswer":"a","explanation":"تفاضل درجه دو به صورت $2ax + a + b$ است. با مساوی قرار دادن ضرایب: $2a=8 \to a=4$ و $a+b=7 \to b=3$.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع سهمی"}},{"id":332,"questionText":"در دو تابع $f(x) = x^2 + ax + b$ و $g(x) = x^2 + cx + d$ اگر $f(1)+f(10)+f(100) = g(1)+g(10)+g(100)$ باشد، جواب معادله $f(x) = g(x)$ کدام است؟","answer_a":"$37$","answer_b":"$111\/3$","answer_c":"$111\/2$","answer_d":"$37\/3$","correctAnswer":"a","explanation":"معادله $f(x)=g(x)$ به $ax+b = cx+d$ تبدیل می‌شود. طبق فرض مجموع مقادیر در سه نقطه برابر است، پس میانگین آن‌ها (۳۷) جواب معادله است.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"برابری توابع"}},{"id":333,"questionText":"نمودارهای دو تابع $f(x) = x^2 - 1$ و $f(x-2)$ در نقطه‌ای با کدام طول متقاطع اند؟","answer_a":"$2$","answer_b":"$1$","answer_c":"$3$","answer_d":"صفر","correctAnswer":"b","explanation":"$x^2 - 1 = (x-2)^2 - 1 \to x^2 = x^2 - 4x + 4 \to 4x = 4 \to x = 1$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"وارون تابع"}},{"id":334,"questionText":"به ازای کدام مقدار m نمودار تابع $y = (m-2)x^2 - 2x + m+2$ بر محور xها مماس است؟ (بالای محور)","answer_a":"$3$","answer_b":"$2$","answer_c":"$√5$","answer_d":"$-√5$","correctAnswer":"c","explanation":"شرط مماس بودن $Delta = 0$ است: $4 - 4(m-2)(m+2) = 0 \to 1 - (m^2 - 4) = 0 \to m^2 = 5$. چون باید بالای محور باشد $m-2 > 0$ پس $m=√5$.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع سهمی"}},{"id":335,"questionText":"اگر $f(x+1) = x^2 - 2x + 1$ باشد، آنگاه تابع $f(x)$ کدام است؟","answer_a":"$(x-2)^2$","answer_b":"$(x-1)^2$","answer_c":"$x^2 - 4x$","answer_d":"$(x+2)^2$","correctAnswer":"a","explanation":"$f(x+1) = (x-1)^2$. با تغییر متغیر $t=x+1 \to x=t-1$ داریم $f(t) = (t-1-1)^2 = (t-2)^2$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دامنه و برد"}},{"id":336,"questionText":"اگر تابع چندجمله‌ای $f(√x + 1) = x + 2√x + 2$ باشد، مقدار $f(√2)$ چقدر است؟","answer_a":"$1+√2$","answer_b":"$√2+2$","answer_c":"$3$","answer_d":"$2$","correctAnswer":"c","explanation":"ضابطه تابع به صورت $f(t) = t^2 + 1$ است (چون $(√x+1)^2 = x+2√x+1$). پس $f(√2) = (√2)^2 + 1 = 3$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دامنه و برد"}},{"id":337,"questionText":"مساحت ناحیۀ محدود به نمودار تابع $f(x)=|x-1|$ و خطوط $x=1$ و $x=-1$ و $y=2$ کدام است؟","answer_a":"$7\/2$","answer_b":"$2$","answer_c":"$5\/2$","answer_d":"$4$","correctAnswer":"b","explanation":"با رسم خطوط و نمودار قدرمطلقی، یک ناحیه مثلثی به قاعده ۲ و ارتفاع ۲ ایجاد می‌شود که مساحت آن ۲ واحد مربع است.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":11,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع قدرمطلقی"}},{"id":338,"questionText":"مساحت محدود بین نمودارهای توابع $y=|x|$ و $2x+3y=12$ و محورهای مختصات در ناحیه اول کدام است؟","answer_a":"$6$","answer_b":"$3$","answer_c":"$4$","answer_d":"$2.4$","correctAnswer":"a","explanation":"نقطه تلاقی خط و تابع قدرمطلق را یافته و مساحت مثلث حاصل در ناحیه اول را محاسبه می‌کنیم که برابر ۶ می‌شود.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":11,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع قدرمطلقی"}},{"id":339,"questionText":"اگر نقطه های $(1, y1)$ و $(-1, y2)$ روی نمودار $y=ax^2+bx+c$ واقع باشند و $y1 - y2 = -6$ باشد، آنگاه b کدام است؟","answer_a":"$-3$","answer_b":"$3$","answer_c":"$2$","answer_d":"$-2$","correctAnswer":"a","explanation":"با جایگذاری نقاط در ضابطه و کم کردن آن‌ها از هم، رابطه $2b = -6$ به دست می‌آید، پس $b = -3$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع سهمی"}},{"id":340,"questionText":"خط گذرا بر نقطه $(2, 4)$ با شیب ۲ و منحنی $y=x^2$ در دو نقطه A و B مشترک هستند. مختصات طول نقطه وسط AB کدام است؟","answer_a":"$1$","answer_b":"$2$","answer_c":"$1.5$","answer_d":"$-1$","correctAnswer":"a","explanation":"معادله خط $y=2x$ است. از تلاقی آن با سهمی، ریشه‌های ۰ و ۲ به دست می‌آیند که میانگین آن‌ها (طول نقطه وسط) برابر ۱ است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع سهمی"}},{"id":341,"questionText":"نمودار تابع با ضابطه $f(x)=2x^2+(m-1)x+1$ به ازای کدامین مقادیر m بالاتر از خط $y=-1$ قرار دارد؟","answer_a":"$-3 < m < 5$","answer_b":"$-3 < m < 0$","answer_c":"$m < -3$ یا $m > 5$","answer_d":"$0 < m < 5$","correctAnswer":"a","explanation":"عبارت $2x^2+(m-1)x+2$ باید همواره مثبت باشد، پس دلتا باید منفی باشد: $(m-1)^2 - 16 < 0$.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع سهمی"}},{"id":342,"questionText":"به ازای کدامین مقادیر a، تمامی نقاط نمودار تابع $f(x)=(a-1)x^2+2√2x+a$ بالای محور xها قرار می‌گیرد؟","answer_a":"$a < -1$","answer_b":"$a > 1$","answer_c":"$a < 2$","answer_d":"$a > 2$","correctAnswer":"d","explanation":"شرط همواره مثبت بودن: ضریب $x^2$ مثبت و دلتا منفی. $a-1 > 0$ و $8 - 4a(a-1) < 0$ که نتیجه می‌دهد $a > 2$.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع سهمی"}},{"id":343,"questionText":"در کدام بازه زیر، مقادیر تابع $f(x)=x^2$ از مقادیر تابع $g(x)=|x-2|$ کمتر است؟","answer_a":"$(1, 2)$","answer_b":"$(-1, 0)$","answer_c":"$(-1, 1)$","answer_d":"$(0, 1)$","correctAnswer":"c","explanation":"با حل نامعادله $x^2 < |x-2|$ در بازه‌های مختلف، مشخص می‌شود که در بازه $(-1, 1)$ سهمی پایین‌تر قرار دارد.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دامنه و برد"}},{"id":344,"questionText":"اگر منحنی $y=2x^2-2x+m-2$ محور xها را در دو نقطه با طول‌های مثبت قطع کند، حدود m کدام است؟","answer_a":"$m > 4$","answer_b":"$2 < m < 2.5$","answer_c":"$2 < m < 4$","answer_d":"$2 < m < 3$","correctAnswer":"b","explanation":"شرط ریشه‌های مثبت: دلتا مثبت، مجموع ریشه‌ها مثبت و حاصل‌ضرب ریشه‌ها مثبت. از حاصل‌ضرب ($m-2 > 0$) و دلتا ($4-8(m-2) > 0$) بازه به دست می‌آید.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع سهمی"}},{"id":345,"questionText":"به ازای چند مقدار صحیح m، نمودار تابع $y=(4-1\/m)(mx-1)$ بر محور xها مماس است؟","answer_a":"$1$","answer_b":"$2$","answer_c":"صفر","answer_d":"$3$","correctAnswer":"a","explanation":"با ساده‌سازی عبارت به یک تابع درجه دو، شرط تماس (دلتا صفر) تنها برای یک مقدار m برقرار می‌شود.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مفهوم تابع"}},{"id":346,"questionText":"به ازای کدام مقدار a منحنی $ay=x^2+5x+4$ بر نیمساز ناحیه اول مماس است؟","answer_a":"$1$","answer_b":"$4$","answer_c":"$5$","answer_d":"$9$","correctAnswer":"d","explanation":"تلاقی با خط $y=x$: معادله $x^2+(5-a)x+4=0$ باید ریشه مضاعف داشته باشد، پس $(5-a)^2 = 16$.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع سهمی"}},{"id":347,"questionText":"به ازای کدام مقادیر m خط $y=2x-2$ بر منحنی $y=(m+2)x^2+mx$ مماس است؟","answer_a":"$2$ و $22$","answer_b":"$4$ و $14$","answer_c":"$-2$ و $22$","answer_d":"$2$ و $18$","correctAnswer":"c","explanation":"با برابر قرار دادن دو ضابطه، دلتای معادله درجه دوم حاصل باید صفر باشد.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع سهمی"}},{"id":348,"questionText":"اگر $f={(2, 0), (3, 2a-2), (a, 2), (2, a^2-a)}$ یک تابع باشد، مقدار a کدام است؟","answer_a":"$0$","answer_b":"$1$","answer_c":"$2$","answer_d":"$-1$","correctAnswer":"b","explanation":"برای تابع بودن باید $a^2-a = 0$ باشد. از بین $a=0$ و $a=1$، فقط عدد ۱ باعث نمی‌شود که مولفه اول ۳ تکراری با خروجی متفاوت ایجاد شود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مفهوم تابع"}},{"id":349,"questionText":"مقادیر تابع $f(x)=-1\/2 x^2 + 2x + 4$ در بازه $(a, b)$ بزرگتر از ۶ است. بیشترین طول بازه ($b-a$) کدام است؟","answer_a":"$4$","answer_b":"$2$","answer_c":"$1$","answer_d":"$3$","correctAnswer":"b","explanation":"نامعادله $-1\/2 x^2 + 2x - 2 > 0$ ریشه‌هایی در بازه ای به طول ۲ دارد.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع سهمی"}},{"id":350,"questionText":"منحنی $y=(2x+1)(x+8)$ با خط $y=mx$ نقطه مشترک ندارد. مجموعه مقادیر m کدام است؟","answer_a":"$9 < m < 25$","answer_b":"$10 < m < 20$","answer_c":"$m > 25$","answer_d":"$m < 9$","correctAnswer":"a","explanation":"دلتای معادله $2x^2+(17-m)x+8=0$ باید منفی باشد، که نتیجه آن $|17-m| < 8$ است.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع سهمی"}},{"id":351,"questionText":"نمودار سهمی $y=-x^2+1$ را دو واحد به سمت چپ و یک واحد به سمت بالا انتقال می‌دهیم. ضابطه جدید کدام است؟","answer_a":"$y=-x^2-4x-2$","answer_b":"$y=-x^2+4x-2$","answer_c":"$y=x^2-4x+2$","answer_d":"$y=-x^2-4x+2$","correctAnswer":"a","explanation":"انتقال به چپ یعنی جایگذاری $x+2$ و انتقال به بالا یعنی جمع کل با ۱. $y = -(x+2)^2 + 1 + 1$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"وارون تابع"}},{"id":352,"questionText":"نمودار تابع $f(x)=x^2$ را ۲ واحد به سمت راست و ۳ واحد به سمت پایین انتقال می‌دهیم. طول نقاط تلاقی با محور xها کدام است؟","answer_a":"$2±√3$","answer_b":"$1±√2$","answer_c":"$2±√2$","answer_d":"$-2±√3$","correctAnswer":"a","explanation":"ضابطه جدید $(x-2)^2 - 3 = 0$ است، پس $x-2 = ±√3$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"وارون تابع"}},{"id":353,"questionText":"کدام گزاره در مورد توابع متناهی صحیح است؟","answer_a":"تعداد اعضای برد می‌تواند بیشتر از دامنه باشد.","answer_b":"تعداد اعضای دامنه همواره با برد برابر است.","answer_c":"تعداد اعضای دامنه می‌تواند بیشتر از برد باشد.","answer_d":"اگر دامنه متناهی باشد برد حتماً نامتناهی است.","correctAnswer":"c","explanation":"در توابعی که یک‌به‌یک نیستند، چند ورودی به یک خروجی می‌روند، پس تعداد اعضای دامنه بیشتر از برد است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مفهوم تابع"}},{"id":354,"questionText":"اگر $f(x)=(x-1)^4+(x-1)^2$ باشد، حاصل $f(√3+1)$ کدام است؟","answer_a":"$9$","answer_b":"$12$","answer_c":"$15$","answer_d":"$6$","correctAnswer":"b","explanation":"با جایگذاری $√3+1$ به جای x، عبارت $(√3)^4 + (√3)^2 = 9 + 3 = 12$ به دست می‌آید.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دامنه و برد"}},{"id":355,"questionText":"اگر $f(x)=x^2(2-x)^2$ باشد، حاصل $f(1+x)-f(1-x)$ کدام است؟","answer_a":"$x^2$","answer_b":"$2x$","answer_c":"صفر","answer_d":"$1$","correctAnswer":"c","explanation":"ضابطه تابع متقارن است و مقدار آن برای فواصل یکسان از عدد ۱ برابر است، پس تفاضل صفر می‌شود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دامنه و برد"}},{"id":356,"questionText":"اگر $f(x+1)=x^2+2x$ باشد، ضابطه $f(x)$ کدام است؟","answer_a":"$x^2+1$","answer_b":"$x^2-1$","answer_c":"$x^2+2x-1$","answer_d":"$x^2-2x$","correctAnswer":"b","explanation":"چون $f(x+1) = (x+1)^2 - 1$ است، پس ضابطه اصلی تابع $f(x) = x^2 - 1$ می‌باشد.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دامنه و برد"}},{"id":357,"questionText":"اگر $f(x) = 2x-5$ و $g(x) = x^2+1$ باشد، حاصل $g(f(3))$ کدام است؟","answer_a":"2","answer_b":"5","answer_c":"1","answer_d":"10","correctAnswer":"a","explanation":"ابتدا $f(3) = 2(3)-5 = 1$ را محاسبه کرده، سپس مقدار حاصل را در تابع g قرار می‌دهیم: $g(1) = 1^2+1 = 2$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"ترکیب توابع"}},{"id":358,"questionText":"دامنه تابع $f(x) = √(4 - x^2)$ شامل کدام مجموعه است؟","answer_a":"[-2, 2]","answer_b":"R - [-2, 2]","answer_c":"[0, 2]","answer_d":"R","correctAnswer":"a","explanation":"عبارت زیر رادیکال با فرجه زوج باید بزرگتر یا مساوی صفر باشد. $4-x^2 ≥ 0 \to x^2 ≤ 4$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دامنه و برد"}},{"id":359,"questionText":"اگر $f(x) = x - [x]$ باشد، حاصل $f(2.7)$ کدام است؟","answer_a":"0.7","answer_b":"0.3","answer_c":"2","answer_d":"1","correctAnswer":"a","explanation":"جزء صحیح ۲.۷ برابر ۲ است. پس $2.7 - 2 = 0.7$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع جزء صحیح"}},{"id":360,"questionText":"مجموعه زوج‌های مرتب $f = {(1, 2), (2, a), (1, b+1)}$ در چه صورتی یک تابع است؟","answer_a":"b=1","answer_b":"a=1","answer_c":"b=2","answer_d":"a=2","correctAnswer":"a","explanation":"برای ورودی‌های یکسان، باید خروجی‌ها برابر باشند. پس $b+1 = 2 \to b=1$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مفهوم تابع"}},{"id":361,"questionText":"مختصات رأس سهمی $y = (x-3)^2 + 4$ کدام است؟","answer_a":"(3, 4)","answer_b":"(-3, 4)","answer_c":"(4, 3)","answer_d":"(3, -4)","correctAnswer":"a","explanation":"در فرم $y = a(x-h)^2 + k$، رأس سهمی نقطه $(h, k)$ است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع سهمی"}},{"id":362,"questionText":"اگر $f(x) = |x+1| - |x-1|$ باشد، حاصل $f(0)$ کدام است؟","answer_a":"صفر","answer_b":"2","answer_c":"-2","answer_d":"1","correctAnswer":"a","explanation":"با جایگذاری صفر: $|0+1| - |0-1| = 1 - 1 = 0$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":11,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع قدرمطلقی"}},{"id":363,"questionText":"ضابطه وارون تابع $f(x) = x^3+1$ کدام است؟","answer_a":"³√(x-1)","answer_b":"³√(x+1)","answer_c":"x³-1","answer_d":"1\/x³","correctAnswer":"a","explanation":"$y = x^3+1 \to y-1 = x^3 \to x = ³√(y-1)$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"وارون تابع"}},{"id":364,"questionText":"اگر $f(x) = x+2$ و $g(x) = 2x-1$ باشد، حاصل $(f+g)(2)$ کدام است؟","answer_a":"7","answer_b":"5","answer_c":"4","answer_d":"6","correctAnswer":"a","explanation":"$f(2) = 4$ و $g(2) = 3$. مجموع آن‌ها ۷ می‌شود.","difficulty":1,"grade":[{"grade":11,"major":"انسانی"},{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"اعمال روی توابع"}},{"id":365,"questionText":"دامنه تابع گویا $f(x) = (x-1)\/(x^2-4)$ کدام است؟","answer_a":"R - {2, -2}","answer_b":"R - {2}","answer_c":"R - {1}","answer_d":"R","correctAnswer":"a","explanation":"ریشه‌های مخرج ($x^2-4=0$) باید از دامنه حذف شوند.","difficulty":1,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع گویا"}},{"id":366,"questionText":"کدام یک از توابع زیر یک تابع ثابت است؟","answer_a":"f(x) = 5","answer_b":"f(x) = x","answer_c":"f(x) = |x|","answer_d":"f(x) = [x]","correctAnswer":"a","explanation":"تابعی که به ازای هر ورودی، خروجی یکسان و مستقل از x داشته باشد تابع ثابت است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":11,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع ثابت و همانی"}},{"id":367,"questionText":"اگر $f(x) = (x-2)\/(x+1)$ باشد، ضابطه وارون آن $f^{-1}(x)$ کدام است؟","answer_a":"(x+2)\/(1-x)","answer_b":"(x-2)\/(1+x)","answer_c":"(x+1)\/(x-2)","answer_d":"(x-1)\/(x+2)","correctAnswer":"a","explanation":"با جابجایی x و y و حل معادله برحسب x، ضابطه وارون به دست می‌آید.","difficulty":3,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"وارون تابع"}},{"id":368,"questionText":"دامنه تابع با ضابطه $f(x) = 1\/(x - [x])$ کدام است؟","answer_a":"R - Z","answer_b":"R","answer_c":"Z","answer_d":"(0, 1)","correctAnswer":"a","explanation":"مخرج کسر زمانی صفر می‌شود که x با جزء صحیحش برابر باشد، یعنی x عدد صحیح (Z) باشد. پس دامنه تمام اعداد حقیقی بجز صحیح است.","difficulty":3,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع جزء صحیح"}},{"id":369,"questionText":"اگر $f(x) = x^2+x$ و $g(x) = 2x+1$ باشد، حاصل $f(g(0))$ کدام است؟","answer_a":"2","answer_b":"1","answer_c":"0","answer_d":"3","correctAnswer":"a","explanation":"ابتدا $g(0) = 1$ و سپس $f(1) = 1^2+1 = 2$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"ترکیب توابع"}},{"id":370,"questionText":"کدام یک از توابع زیر در تمام دامنه خود با $g(x) = 1$ برابر است؟","answer_a":"f(x) = x\/x","answer_b":"f(x) = (x+1)\/(x+1)","answer_c":"f(x) = sin^2 x + cos^2 x","answer_d":"همه موارد","correctAnswer":"c","explanation":"توابع گزینه‌های الف و ب در ریشه‌های مخرج تعریف نشده‌اند، اما تابع مثلثاتی در تمام R برابر ۱ است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"برابری توابع"}},{"id":371,"questionText":"برد تابع $f(x) = -x^2+2x+3$ کدام است؟","answer_a":"(-∞, 4]","answer_b":"[4, +∞)","answer_c":"(-∞, 1]","answer_d":"R","correctAnswer":"a","explanation":"رأس سهمی در $x=1$ است و مقدار بیشینه آن $f(1)=4$ می‌باشد. چون ضریب $x^2$ منفی است، برد از منفی بی‌نهایت تا ۴ است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع سهمی"}},{"id":372,"questionText":"اگر $f = {(1, 2), (2, 3)}$ باشد، حاصل $f(f(1))$ کدام است؟","answer_a":"3","answer_b":"2","answer_c":"1","answer_d":"4","correctAnswer":"a","explanation":"$f(1)=2$ و $f(2)=3$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"ترکیب توابع"}},{"id":373,"questionText":"تابع $f(x) = |x-3| + |x+1|$ در بازه $(-1, 3)$ با کدام ضابطه برابر است؟","answer_a":"4","answer_b":"2x-2","answer_c":"-2x+2","answer_d":"2x+2","correctAnswer":"a","explanation":"در این بازه عبارت اول منفی و دوم مثبت است: $-(x-3) + (x+1) = -x+3+x+1 = 4$.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":11,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع قدرمطلقی"}},{"id":374,"questionText":"اگر $f(x) = x+3$ و $(f+g)(x) = x^2$ باشد، $g(2)$ کدام است؟","answer_a":"-1","answer_b":"4","answer_c":"1","answer_d":"5","correctAnswer":"a","explanation":"$g(x) = x^2 - (x+3)$. پس $g(2) = 4 - 5 = -1$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"انسانی"},{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"اعمال روی توابع"}},{"id":375,"questionText":"دامنه تابع $f(x) = √(x^2-x-6)$ کدام است؟","answer_a":"(-∞, -2] U [3, +∞)","answer_b":"[-2, 3]","answer_c":"[3, +∞)","answer_d":"R","correctAnswer":"a","explanation":"با تعیین علامت عبارت درجه دوم، نواحی مثبت یا صفر خارج دو ریشه -2 و 3 هستند.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دامنه و برد"}},{"id":376,"questionText":"کدام یک از توابع زیر پله‌ای است؟","answer_a":"تابع علامت (sgn)","answer_b":"f(x) = x","answer_c":"f(x) = 2^x","answer_d":"f(x) = √x","correctAnswer":"a","explanation":"تابع علامت که مقادیر آن فقط -1، 0 و 1 است، نوعی تابع پله‌ای محسوب می‌شود.","difficulty":1,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع پله ای"}},{"id":377,"questionText":"دامنه تابع $f(x) = 1\/([x]-2)$ کدام است؟","answer_a":"R - [2, 3)","answer_b":"R - {2}","answer_c":"R - [1, 2)","answer_d":"R","correctAnswer":"a","explanation":"مخرج نباید صفر شود: $[x]-2 ≠ 0 \to [x] ≠ 2$. پس بازه $[2, 3)$ از دامنه حذف می‌شود.","difficulty":3,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع جزء صحیح"}},{"id":378,"questionText":"کدام سهمی دارای کمترین مقدار (مینیمم) است؟","answer_a":"y = x^2 - 4","answer_b":"y = -x^2 + 1","answer_c":"y = -2x^2","answer_d":"y = 5-x^2","correctAnswer":"a","explanation":"سهمی‌هایی که ضریب $x^2$ آن‌ها مثبت ($a>0$) باشد، رو به بالا بوده و دارای مینیمم هستند.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع سهمی"}},{"id":379,"questionText":"اگر $f(x) = √x$ و $g(x) = x-1$ باشد، دامنه $f(g(x))$ کدام است؟","answer_a":"x ≥ 1","answer_b":"x ≥ 0","answer_c":"R","answer_d":"x > 1","correctAnswer":"a","explanation":"عبارت $x-1$ باید زیر رادیکال بزرگتر یا مساوی صفر باشد.","difficulty":2,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"ترکیب توابع"}},{"id":380,"questionText":"حاصل $[ -1\/2 ] + [ 1\/2 ]$ کدام است؟","answer_a":"-1","answer_b":"0","answer_c":"1","answer_d":"-2","correctAnswer":"a","explanation":"جزء صحیح منفی ۰.۵ برابر ۱- و جزء صحیح ۰.۵ برابر ۰ است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع جزء صحیح"}},{"id":381,"questionText":"اگر $f(x) = 2x+1$ باشد، حاصل $f(f^{-1}(10))$ کدام است؟","answer_a":"10","answer_b":"21","answer_c":"4.5","answer_d":"0","correctAnswer":"a","explanation":"ترکیب هر تابع با وارونش، عضو را به خودش (همانی) تبدیل می‌کند.","difficulty":1,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"وارون تابع"}},{"id":382,"questionText":"اگر $f(x) = x^2$ در دامنه $x<0$ تعریف شده باشد، وارون آن کدام است؟","answer_a":"-√x","answer_b":"√x","answer_c":"±√x","answer_d":"-x","correctAnswer":"a","explanation":"$y=x^2 \to x = ±√y$. چون دامنه اصلی منفی است، مقدار منفی رادیکال پذیرفته می‌شود.","difficulty":3,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"وارون تابع"}},{"id":383,"questionText":"کدام یک از توابع زیر یک تابع پله‌ای است؟","answer_a":"تابع علامت (sgn)","answer_b":"f(x) = x","answer_c":"f(x) = x^2","answer_d":"f(x) = |x|","correctAnswer":"a","explanation":"تابع علامت که مقادیر ۱، ۰ و ۱- می‌گیرد، نوعی تابع پله‌ای است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع پله ای"}},{"id":384,"questionText":"اگر $f(x) = 3$ و $g(x) = 5$ باشد، برد تابع $f+g$ کدام است؟","answer_a":"{8}","answer_b":"{3, 5}","answer_c":"R","answer_d":"{15}","correctAnswer":"a","explanation":"مجموع دو تابع ثابت، خود یک تابع ثابت با مقدار مجموع است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":11,"major":"انسانی"},{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"اعمال روی توابع"}},{"id":385,"questionText":"اگر $f(x) = (x-1)\/x$ باشد، دامنه آن کدام است؟","answer_a":"R - {0}","answer_b":"R - {1}","answer_c":"R","answer_d":"x > 0","correctAnswer":"a","explanation":"تنها ریشه مخرج (صفر) از اعداد حقیقی حذف می‌شود.","difficulty":1,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع گویا"}},{"id":386,"questionText":"در تابع $f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}$ برد تابع کدام است؟","answer_a":"{2, 3, 4}","answer_b":"{1, 2, 3}","answer_c":"{1, 2, 3, 4}","answer_d":"{4}","correctAnswer":"a","explanation":"برد مجموعه مؤلفه‌های دوم زوج‌های مرتب است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مفهوم تابع"}},{"id":387,"questionText":"اگر $f(x) = |x-2| + |x+3|$ باشد، کمترین مقدار تابع کدام است؟","answer_a":"5","answer_b":"2","answer_c":"3","answer_d":"0","correctAnswer":"a","explanation":"کمترین مقدار این تابع در بازه بین ریشه‌ها رخ می‌دهد که برابر با فاصله دو ریشه (5) است.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":11,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع قدرمطلقی"}},{"id":388,"questionText":"به ازای کدام مقدار m، سهمی $y = mx^2 - mx + 1$ همواره بالای محور xها قرار دارد؟","answer_a":"0 < m < 4","answer_b":"m > 4","answer_c":"m < 0","answer_d":"m > 0","correctAnswer":"a","explanation":"باید m > 0 و دلتا منفی باشد: $m^2 - 4m < 0 \to 0 < m < 4$.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع سهمی"}},{"id":389,"questionText":"اگر $f(x) = √x$ و $g(x) = 1-x^2$ باشد، حاصل $g(f(2))$ کدام است؟","answer_a":"-1","answer_b":"1","answer_c":"0","answer_d":"-2","correctAnswer":"a","explanation":"$f(2) = √2$. سپس $g(√2) = 1 - (√2)^2 = 1 - 2 = -1$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"ترکیب توابع"}},{"id":390,"questionText":"دامنه تابع $f(x) = √(x- [x])$ کدام است؟","answer_a":"R","answer_b":"Z","answer_c":"[0, 1)","answer_d":"تهی","correctAnswer":"a","explanation":"چون همواره $x ≥ [x]$ است، عبارت زیر رادیکال همیشه مثبت یا صفر است.","difficulty":3,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع جزء صحیح"}},{"id":391,"questionText":"اگر $f(x) = 3x-2$ باشد، مقدار $f(f^{-1}(5))$ کدام است؟","answer_a":"5","answer_b":"13","answer_c":"7\/3","answer_d":"2","correctAnswer":"a","explanation":"ترکیب هر تابع با وارونش برابر با خود ورودی (تابع همانی) است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"وارون تابع"}},{"id":392,"questionText":"برد تابع $f(x) = -x^2 + 2x + 3$ کدام است؟","answer_a":"(-∞, 4]","answer_b":"[4, +∞)","answer_c":"(-∞, 3]","answer_d":"R","correctAnswer":"a","explanation":"رأس در $x=1$ و $f(1)=4$ است. چون $a<0$، برد $(-∞, 4]$ است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع سهمی"}},{"id":393,"questionText":"اگر $f = {(1, 3), (2, 5)}$ و $g = {(3, 4), (5, 6)}$ باشد، زوج مرتب عضو $g(f(x))$ کدام است؟","answer_a":"(1, 4)","answer_b":"(1, 6)","answer_c":"(2, 4)","answer_d":"(3, 1)","correctAnswer":"a","explanation":"$g(f(1)) = g(3) = 4$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"ترکیب توابع"}},{"id":394,"questionText":"تابع $f(x) = (x^2-1)\/(x-1)$ با کدام تابع برابر است؟","answer_a":"g(x) = x+1 (x≠1)","answer_b":"g(x) = x+1","answer_c":"g(x) = x-1","answer_d":"هیچکدام","correctAnswer":"a","explanation":"برای برابری باید دامنه هر دو تابع $R - {1}$ باشد.","difficulty":3,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"برابری توابع"}},{"id":395,"questionText":"حاصل $[ -2.1 ] + [ 2.1 ]$ کدام است؟","answer_a":"-1","answer_b":"0","answer_c":"1","answer_d":"-2","correctAnswer":"a","explanation":"$-3 + 2 = -1$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع جزء صحیح"}},{"id":396,"questionText":"اگر $f(x) = 2x$ و $g(x) = x+3$ باشد، حاصل $(f × g)(0)$ کدام است؟","answer_a":"0","answer_b":"3","answer_c":"6","answer_d":"1","correctAnswer":"a","explanation":"$f(0) × g(0) = 0 × 3 = 0$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":11,"major":"انسانی"},{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"اعمال روی توابع"}},{"id":397,"questionText":"کدام تابع وارون‌پذیر است؟","answer_a":"f(x) = 2x-5","answer_b":"f(x) = x^2","answer_c":"f(x) = |x|","answer_d":"f(x) = 4","correctAnswer":"a","explanation":"توابع یک‌به‌یک وارون‌پذیر هستند. تابع خطی غیرثابت همواره یک‌به‌یک است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"وارون تابع"}},{"id":398,"questionText":"اگر $f(x) = x^2$ و $g(x) = x+1$ باشد، ضابطه $g(f(x))$ کدام است؟","answer_a":"x^2+1","answer_b":"(x+1)^2","answer_c":"x^2+x","answer_d":"x+1","correctAnswer":"a","explanation":"$g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 1$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"ترکیب توابع"}},{"id":399,"questionText":"دامنه تابع $f(x) = (2x-1)\/|x|$ کدام است؟","answer_a":"R - {0}","answer_b":"R","answer_c":"x > 0","answer_d":"R - {0.5}","correctAnswer":"a","explanation":"مخرج کسر نباید صفر باشد، پس $|x| ≠ 0 \to x ≠ 0$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دامنه و برد"}},{"id":400,"questionText":"در تابع پله‌ای $f(x) = sgn(x)$ مقدار $f(-100)$ کدام است؟","answer_a":"-1","answer_b":"1","answer_c":"0","answer_d":"-100","correctAnswer":"a","explanation":"خروجی تابع علامت برای تمام اعداد منفی برابر ۱- است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع پله ای"}},{"id":401,"questionText":"اگر $f(x) = x^2-x$ باشد، حاصل $f(1-x)$ کدام است؟","answer_a":"x^2-x","answer_b":"x^2+x","answer_c":"x-x^2","answer_d":"x^2-2x","correctAnswer":"a","explanation":"$(1-x)^2 - (1-x) = 1 - 2x + x^2 - 1 + x = x^2 - x$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دامنه و برد"}},{"id":402,"questionText":"رأس سهمی $y = x^2 - 6x$ روی کدام خط قرار دارد؟","answer_a":"x = 3","answer_b":"x = 6","answer_c":"x = -3","answer_d":"y = 3","correctAnswer":"a","explanation":"طول رأس سهمی از رابطه $-b\/2a$ برابر با $6\/2 = 3$ است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع سهمی"}},{"id":403,"questionText":"کدام یک از توابع زیر یک تابع همانی است؟","answer_a":"f(x) = x^3\/x^2 (x≠0)","answer_b":"f(x) = x","answer_c":"f(x) = |x|","answer_d":"f(x) = 2x\/2","correctAnswer":"b","explanation":"گزینه b بدون هیچ قید و شرطی روی دامنه، تعریف دقیق تابع همانی در تمام اعداد حقیقی است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":11,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع ثابت و همانی"}},{"id":404,"questionText":"اگر $f(x) = x+1$ باشد، ضابطه $f(f(f(x)))$ کدام است؟","answer_a":"x+3","answer_b":"3x+3","answer_c":"x^3+1","answer_d":"3x+1","correctAnswer":"a","explanation":"هر بار ترکیب با این تابع، یک واحد به مقدار ورودی اضافه می‌کند.","difficulty":2,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"ترکیب توابع"}},{"id":405,"questionText":"حاصل $[ 0.9 ] + [ -0.1 ]$ کدام است؟","answer_a":"-1","answer_b":"0","answer_c":"1","answer_d":"0.8","correctAnswer":"a","explanation":"$0 + (-1) = -1$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع جزء صحیح"}},{"id":406,"questionText":"اگر $f = {(1, 2), (2, 2), (3, 2)}$ باشد، این تابع از چه نوعی است؟","answer_a":"ثابت","answer_b":"همانی","answer_c":"یک‌به‌یک","answer_d":"گویا","correctAnswer":"a","explanation":"چون تمام خروجی‌ها برابر با عدد ۲ هستند، تابع ثابت است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":11,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع ثابت و همانی"}},{"id":407,"questionText":"اگر $f(x) = x^2 - 3x + 2$ باشد، حاصل $f(x+1) - f(x)$ کدام است؟","answer_a":"2x-2","answer_b":"2x+2","answer_c":"x^2-1","answer_d":"3x-1","correctAnswer":"a","explanation":"با جایگذاری: $((x+1)^2 - 3(x+1) + 2) - (x^2 - 3x + 2) = (x^2 + 2x + 1 - 3x - 3 + 2) - (x^2 - 3x + 2) = 2x - 2$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دامنه و برد"}},{"id":408,"questionText":"دامنه تابع $f(x) = √(x^2 - 4)$ کدام است؟","answer_a":"R - (-2, 2)","answer_b":"[-2, 2]","answer_c":"x > 2","answer_d":"x < -2","correctAnswer":"a","explanation":"عبارت زیر رادیکال باید بزرگتر یا مساوی صفر باشد: $x^2 ≥ 4 \to |x| ≥ 2$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دامنه و برد"}},{"id":409,"questionText":"اگر $f(x) = 2x - 1$ و $g(x) = x + 3$ باشد، حاصل $(f + g)(2)$ کدام است؟","answer_a":"8","answer_b":"5","answer_c":"3","answer_d":"10","correctAnswer":"a","explanation":"$f(2) = 3$ و $g(2) = 5$. مجموع آن‌ها برابر ۸ است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":11,"major":"انسانی"},{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"اعمال روی توابع"}},{"id":410,"questionText":"کدام یک از روابط زیر تابع است؟","answer_a":"x^2 + y^2 = 4","answer_b":"y = x^2","answer_c":"|y| = x","answer_d":"x = y^2","correctAnswer":"b","explanation":"در گزینه b به ازای هر x تنها یک y وجود دارد، اما در بقیه گزینه‌ها به ازای یک x ممکن است دو مقدار y داشته باشیم.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تعریف تابع"}},{"id":411,"questionText":"اگر $f = {(1, 2), (3, 4)}$ و $g = {(2, 5), (4, 6)}$ باشد، $g(f(1))$ کدام است؟","answer_a":"5","answer_b":"6","answer_c":"2","answer_d":"4","correctAnswer":"a","explanation":"$f(1) = 2$ و $g(2) = 5$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"ترکیب توابع"}},{"id":412,"questionText":"وارون تابع $f(x) = x^3$ کدام است؟","answer_a":"√x","answer_b":"x^(1\/3)","answer_c":"x^2","answer_d":"1\/x^3","correctAnswer":"b","explanation":"$y = x^3 \to x = ∛y \to f^{-1}(x) = ∛x$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"وارون تابع"}},{"id":413,"questionText":"برد تابع $f(x) = |x| + 1$ کدام است؟","answer_a":"[1, +∞)","answer_b":"R","answer_c":"(0, +∞)","answer_d":"[0, +∞)","correctAnswer":"a","explanation":"چون $|x| ≥ 0$ است، پس $|x| + 1 ≥ 1$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دامنه و برد"}},{"id":414,"questionText":"اگر $f(x) = 5$ یک تابع ثابت باشد، حاصل $f(x+1) - f(x-1)$ کدام است؟","answer_a":"0","answer_b":"2","answer_c":"10","answer_d":"5","correctAnswer":"a","explanation":"در تابع ثابت تمام خروجی‌ها برابرند، پس تفاضل آن‌ها صفر است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":11,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع ثابت و همانی"}},{"id":415,"questionText":"طول رأس سهمی $y = 2x^2 - 8x + 3$ کدام است؟","answer_a":"2","answer_b":"-2","answer_c":"4","answer_d":"-4","correctAnswer":"a","explanation":"$x = -b \/ (2a) = -(-8) \/ (2 × 2) = 8 \/ 4 = 2$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع سهمی"}},{"id":416,"questionText":"اگر $f(x) = [x]$ باشد، حاصل $f(2.9) + f(-2.1)$ کدام است؟","answer_a":"-1","answer_b":"0","answer_c":"1","answer_d":"2","correctAnswer":"a","explanation":"$[2.9] = 2$ و $[-2.1] = -3$. مجموع آن‌ها برابر ۱- است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع جزء صحیح"}},{"id":417,"questionText":"اگر $f(x) = x^2$ باشد، حاصل $f(x+h) - f(x)$ کدام است؟","answer_a":"2xh + h^2","answer_b":"h^2","answer_c":"2x + h","answer_d":"2xh","correctAnswer":"a","explanation":"$(x+h)^2 - x^2 = x^2 + 2xh + h^2 - x^2 = 2xh + h^2$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دامنه و برد"}},{"id":418,"questionText":"در تابع خطی $f(x) = ax + b$، اگر $f(0) = 2$ و $f(1) = 5$ باشد، مقدار $a$ کدام است؟","answer_a":"3","answer_b":"2","answer_c":"5","answer_d":"1","correctAnswer":"a","explanation":"$b=2$ و $a+2=5 \to a=3$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع خطی"}},{"id":419,"questionText":"اگر $f(x) = 1\/x$ باشد، دامنه تابع $(f × f)(x)$ کدام است؟","answer_a":"R - {0}","answer_b":"R","answer_c":"x > 0","answer_d":"x < 0","correctAnswer":"a","explanation":"هر دو تابع در $x=0$ تعریف نشده‌اند، پس اشتراک دامنه آن‌ها $R - {0}$ است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"اعمال روی توابع"}},{"id":420,"questionText":"کدام یک از توابع زیر یک‌به‌یک است؟","answer_a":"f(x) = x^3","answer_b":"f(x) = x^2","answer_c":"f(x) = |x|","answer_d":"f(x) = 5","correctAnswer":"a","explanation":"تابع توان سوم اعداد حقیقی همواره یک‌به‌یک است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"وارون تابع"}},{"id":421,"questionText":"اگر $f(x) = √x$ باشد، حاصل $(f × f)(4)$ کدام است؟","answer_a":"4","answer_b":"2","answer_c":"16","answer_d":"8","correctAnswer":"a","explanation":"$f(4) × f(4) = 2 × 2 = 4$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"اعمال روی توابع"}},{"id":422,"questionText":"عرض از مبدأ خط $y = 3x - 4$ کدام است؟","answer_a":"-4","answer_b":"3","answer_c":"4\/3","answer_d":"0","correctAnswer":"a","explanation":"با قرار دادن $x=0$ مقدار y برابر ۴- می‌شود.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع خطی"}},{"id":423,"questionText":"اگر $f(x) = x - [x]$ باشد، حاصل $f(1.5)$ کدام است؟","answer_a":"0.5","answer_b":"1","answer_c":"0","answer_d":"1.5","correctAnswer":"a","explanation":"$1.5 - [1.5] = 1.5 - 1 = 0.5$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع جزء صحیح"}},{"id":424,"questionText":"اگر $f(x) = 2^x$ باشد، حاصل $f(3)$ کدام است؟","answer_a":"8","answer_b":"6","answer_c":"9","answer_d":"4","correctAnswer":"a","explanation":"$2^3 = 2 × 2 × 2 = 8$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع نمایی"}},{"id":425,"questionText":"دامنه تابع $f(x) = (x+1)\/(x^2+1)$ کدام است؟","answer_a":"R","answer_b":"R - {-1}","answer_c":"R - {1, -1}","answer_d":"x > -1","correctAnswer":"a","explanation":"مخرج کسر ($x^2+1$) هیچ‌گاه صفر نمی‌شود، پس دامنه تمام اعداد حقیقی است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع گویا"}},{"id":426,"questionText":"اگر $f(x) = x^2$ باشد، برد تابع روی دامنه $[-1, 2]$ کدام است؟","answer_a":"[0, 4]","answer_b":"[1, 4]","answer_c":"[-1, 4]","answer_d":"[0, 2]","correctAnswer":"a","explanation":"کمترین مقدار $x^2$ در این بازه صفر و بیشترین آن ۴ است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دامنه و برد"}},{"id":427,"questionText":"اگر رابطه $f = {(2,a), (a,a^2-3), (a,2a-3), (a^2-4,b)}$ یک تابع باشد، حاصل $a^2-b^2$ کدام می تواند باشد؟","answer_a":"4","answer_b":"19","answer_c":"23","answer_d":"17","correctAnswer":"b","explanation":"در تابع نباید مولفه اول یکسان با مولفه دوم متفاوت داشته باشیم. بنابراین باید داشته باشیم $a^2-3 = 2a-3$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مفهوم تابع"}},{"id":428,"questionText":"اگر $f(x) = {x^2+2x+6}\/{x^2+2x+2}$ باشد، مقدار تابع f به ازای $x = {√3}\/{2} - 1\/2$ کدام است؟","answer_a":"3","answer_b":"2","answer_c":"1.5","answer_d":"4","correctAnswer":"a","explanation":"با جایگذاری مقدار x در ضابطه و استفاده از اتحاد مربع دو جمله ای در صورت و مخرج، کسر ساده شده و پاسخ به دست می آید.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مقدار تابع"}},{"id":429,"questionText":"رابطه {(2,m^2), (2,1), (-2,m), (-2,m), (2,m+2), (m,2)} به ازای کدام مقدار m یک تابع است؟","answer_a":"-2","answer_b":"1","answer_c":"2","answer_d":"هیچ مقدار m","correctAnswer":"d","explanation":"برای اینکه رابطه تابع باشد، باید تمام مولفه های دوم مربوط به مولفه اول 2 یکسان باشند: $m^2=1$ و $m+2=1$ که همزمان ممکن نیست.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مفهوم تابع"}},{"id":430,"questionText":"به ازای کدام مقدار m رابطه {(2,1), (6,2), (2,m^2), (1,3), (m,2)} یک تابع است؟","answer_a":"1","answer_b":"-1","answer_c":"1 یا -1","answer_d":"2","correctAnswer":"c","explanation":"شرط تابع بودن این است که به ازای ورودی 2، خروجی های یکسان داشته باشیم، یعنی $m^2=1$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مفهوم تابع"}},{"id":431,"questionText":"به ازای کدام مقدار m رابطه $f = {(1,m), (1,2), (2,3), (2,2m-1), (m,2)}$ تابع است؟","answer_a":"2","answer_b":"1","answer_c":"m=2","answer_d":"هیچ مقدار m","correctAnswer":"a","explanation":"باید $m=2$ باشد تا خروجی های ورودی 1 یکسان شوند و همچنین $2m-1=3$ باشد تا خروجی های ورودی 2 یکسان گردند.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مفهوم تابع"}},{"id":432,"questionText":"در تابع چند ضابطه ای f، حاصل $f^2(-f(2))$ کدام است؟ اگر $f(x) = 2x$ برای $x ≥ 1$ و $f(x) = 2-2x$ برای $x < 1$ باشد.","answer_a":"121","answer_b":"144","answer_c":"100","answer_d":"169","correctAnswer":"c","explanation":"ابتدا $f(2)=2(2)=4$. سپس $f(-4)=2-2(-4)=10$ و در نهایت مقدار خواسته شده $10^2=100$ است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":11,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع چند ضابطه ای"}},{"id":433,"questionText":"اگر در تابع f با ضابطه $x^2+mx$ برای $x ≤ 1$ و $2mx+3$ برای $x ≥ 1$ باشد، مقدار $f(m)$ کدام است؟","answer_a":"2","answer_b":"0","answer_c":"1","answer_d":"3","correctAnswer":"b","explanation":"برای تابع بودن در نقطه مرزی 1، باید $1+m = 2m+3$ باشد که $m=-2$ به دست می آید. مقدار $f(-2)$ از ضابطه اول محاسبه می شود.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":11,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع چند ضابطه ای"}},{"id":434,"questionText":"کدام یک از روابط زیر نشان دهنده یک تابع نیست؟","answer_a":"$y^2+4xy = x-1$","answer_b":"$y = -x+1$","answer_c":"$x^2+y^2 = 1$","answer_d":"$x^2+y-5 = 0$","correctAnswer":"a","explanation":"در گزینه هایی که y دارای توان زوج است، به ازای یک x ممکن است دو مقدار برای y وجود داشته باشد، لذا تابع نیست.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مفهوم تابع"}},{"id":435,"questionText":"اگر در تابع $f = {(3,2), (2,a^2), (a,2), (0,3)}$ داشته باشیم $f(f(a)) = a$، آنگاه برای a چند مقدار مختلف موجود است؟","answer_a":"1","answer_b":"2","answer_c":"3","answer_d":"4","correctAnswer":"b","explanation":"طبق زوج های مرتب $f(a)=2$ است، پس $f(2)=a$. از طرفی در تابع داریم $f(2)=a^2$، نتیجه می گیریم $a^2=a$.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مقدار تابع"}},{"id":436,"questionText":"مقدار تابع f با ضابطه $x^2+2bx$ برای $x ≥ -1$ و $b^2+3x$ برای $x ≤ -1$ به ازای $x = -2$ کدام است؟","answer_a":"0 یا 16","answer_b":"16","answer_c":"1","answer_d":"0","correctAnswer":"a","explanation":"با تساوی دو ضابطه در $x=-1$ مقادیر ممکن برای b به دست می آید و سپس خروجی به ازای $x=-2$ محاسبه می شود.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":11,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع چند ضابطه ای"}},{"id":437,"questionText":"اگر $f(x) = |x-1| + |x+2|$ یک تابع خطی در بازه $[a, b]$ باشد، حداکثر مقدار $b-a$ کدام است؟","answer_a":"1","answer_b":"2","answer_c":"3","answer_d":"4","correctAnswer":"c","explanation":"تابع قدرمطلقی مجموع دو عبارت درجه اول، بین ریشه های درون قدرمطلق (یعنی از -2 تا 1) به صورت تابع ثابت (یک حالت خاص از تابع خطی) است. طول این بازه برابر $1 - (-2) = 3$ می باشد.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":11,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع قدرمطلقی"}},{"id":438,"questionText":"به ازای کدام مقدار k، تابع $f = {(2, 5), (k, 3), (2, k^2+1)}$ یک تابع است؟","answer_a":"2","answer_b":"-2","answer_c":"2 یا -2","answer_d":"هیچ مقدار","correctAnswer":"c","explanation":"باید به ازای ورودی های یکسان، خروجی یکسان داشته باشیم. پس $k^2+1 = 5$ که نتیجه می دهد $k^2 = 4$ و $k$ برابر 2 یا -2 است.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مفهوم تابع"}},{"id":439,"questionText":"اگر $f(x) = x - √{x^2-2x+1}$ باشد، مقدار $f(-2)$ کدام است؟","answer_a":"1","answer_b":"-1","answer_c":"-5","answer_d":"5","correctAnswer":"c","explanation":"عبارت زیر رادیکال همان $(x-1)^2$ است. با جایگذاری -2 داریم: $-2 - √{(-2-1)^2} = -2 - |-3| = -2 - 3 = -5$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مقدار تابع"}},{"id":440,"questionText":"دامنه تابع $f(x) = {1}\/{|x|-x}$ شامل چند عدد صحیح منفی است؟","answer_a":"صفر","answer_b":"1","answer_c":"2","answer_d":"بی شمار","correctAnswer":"d","explanation":"مخرج کسر نباید صفر باشد. $|x|-x = 0$ زمانی رخ می دهد که $x ≥ 0$. پس دامنه تابع مجموعه اعداد منفی ($x < 0$) است که شامل بی شمار عدد صحیح می باشد.","difficulty":3,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دامنه و برد"}},{"id":441,"questionText":"اگر $f(x) = x^2 - 4x + 5$ باشد، برد تابع کدام است؟","answer_a":"[1, +∞)","answer_b":"[5, +∞)","answer_c":"R","answer_d":"( -∞, 1]","correctAnswer":"a","explanation":"کمترین مقدار سهمی در راس آن رخ می دهد. $x = -b\/2a = 4\/2 = 2$. مقدار تابع در این نقطه $f(2) = 4-8+5 = 1$ است. چون ضریب $x^2$ مثبت است، برد $[1, +∞)$ می باشد.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع سهمی"}},{"id":442,"questionText":"تابع $f(x) = (m-2)x^2 + (n+1)x + 3$ یک تابع خطی است اگر:","answer_a":"m=2","answer_b":"n=-1","answer_c":"m=2 و n=-1","answer_d":"m=0","correctAnswer":"a","explanation":"برای اینکه تابع خطی باشد، ضریب $x^2$ باید صفر باشد تا عبارت درجه دوم حذف شود. پس $m-2=0$ یعنی $m=2$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع خطی"}},{"id":443,"questionText":"در تابع ثابت $f(x) = {4k-2}\/{3}$، اگر $f(5)=6$ باشد، مقدار k کدام است؟","answer_a":"3","answer_b":"5","answer_c":"4","answer_d":"2","correctAnswer":"b","explanation":"در تابع ثابت مقدار خروجی همواره یکسان است. پس ${4k-2}\/{3} = 6$ که نتیجه می دهد $4k-2 = 18$ و $4k = 20$ پس $k=5$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":11,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع ثابت و همانی"}},{"id":444,"questionText":"اگر $f = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)}$ و $g = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}$ باشد، تابع $f + g$ شامل کدام زوج مرتب است؟","answer_a":"(1, 2)","answer_b":"(2, 5)","answer_c":"(3, 3)","answer_d":"(1, 3)","correctAnswer":"b","explanation":"برای جمع دو تابع، خروجی های متناظر با ورودی های یکسان را جمع می کنیم. برای ورودی 2: $f(2)+g(2) = 3+2 = 5$. پس زوج (2, 5) عضو تابع مجموع است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"انسانی"},{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"اعمال روی توابع"}},{"id":445,"questionText":"دامنه تابع $f(x) = {x-1}\/{x^2-4}$ کدام است؟","answer_a":"R","answer_b":"R - {2}","answer_c":"R - {2, -2}","answer_d":"R - {1}","correctAnswer":"c","explanation":"در توابع گویا، ریشه های مخرج جزء دامنه نیستند. $x^2-4 = 0$ نتیجه می دهد $x = 2$ و $x = -2$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دامنه و برد"}},{"id":446,"questionText":"اگر $f(x) = 2x - 3$ باشد، تابع وارون آن $f^{-1}(x)$ کدام است؟","answer_a":"{x+3}\/{2}","answer_b":"{x-3}\/{2}","answer_c":"2x + 3","answer_d":"1\/(2x-3)","correctAnswer":"a","explanation":"با قرار دادن $y = 2x - 3$ و حل معادله برحسب x داریم: $y+3 = 2x$ پس $x = {y+3}\/{2}$. با تعویض x و y ضابطه وارون به دست می آید.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"وارون تابع"}},{"id":447,"questionText":"اگر $f(x) = x^2 - 2x + 3$ و $g(x) = 2x + 1$ باشد، ضابطه تابع $f(g(x))$ کدام است؟","answer_a":"4x^2 + 2","answer_b":"4x^2 + 4x + 2","answer_c":"2x^2 - 4x + 7","answer_d":"4x^2 - 4x + 2","correctAnswer":"a","explanation":"مقدار $g(x)$ را درون $f$ جایگذاری می کنیم: $f(2x+1) = (2x+1)^2 - 2(2x+1) + 3$. با ساده سازی عبارت $4x^2+4x+1-4x-2+3$ حاصل $4x^2+2$ به دست می آید.","difficulty":2,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"ترکیب توابع"}},{"id":448,"questionText":"دامنه تابع با ضابطه $f(x) = √{x-2} + √{5-x}$ کدام است؟","answer_a":"[2, 5]","answer_b":"(2, 5)","answer_c":"[2, +∞)","answer_d":"R","correctAnswer":"a","explanation":"عبارات زیر رادیکال با فرجه زوج باید بزرگتر یا مساوی صفر باشند: $x-2 ≥ 0$ و $5-x ≥ 0$. از اشتراک این دو بازه $[2, 5]$ حاصل می شود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دامنه و برد"}},{"id":449,"questionText":"اگر $f$ یک تابع همانی و $g$ یک تابع ثابت با مقدار 5 باشد، حاصل $f(4) + g(4)$ کدام است؟","answer_a":"9","answer_b":"20","answer_c":"5","answer_d":"4","correctAnswer":"a","explanation":"در تابع همانی $f(x)=x$ پس $f(4)=4$. در تابع ثابت خروجی همواره ثابت است پس $g(4)=5$. مجموع آن ها برابر 9 می شود.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":11,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع ثابت و همانی"}},{"id":450,"questionText":"برد تابع $f(x) = x^2$ با دامنه $A = {-1, 0, 1, 2}$ کدام است؟","answer_a":"{0, 1, 4}","answer_b":"{1, 0, 1, 4}","answer_c":"[-1, 4]","answer_d":"{0, 1, 2}","correctAnswer":"a","explanation":"با جایگذاری تک تک اعضای دامنه در ضابطه، مقادیر {1, 0, 1, 4} به دست می آیند که در مجموعه برد عضو تکراری یک بار نوشته می شود: {0, 1, 4}.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دامنه و برد"}},{"id":451,"questionText":"اگر تابع $f(x) = 2x + b$ از نقطه (1, 5) بگذرد، مقدار b کدام است؟","answer_a":"3","answer_b":"7","answer_c":"1","answer_d":"2","correctAnswer":"a","explanation":"مختصات نقطه در ضابطه صدق می کند: $5 = 2(1) + b$ پس $b = 5 - 2 = 3$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع خطی"}},{"id":452,"questionText":"وارون تابع $f = {(1, 2), (3, 4), (5, 6)}$ کدام است؟","answer_a":"{(2, 1), (4, 3), (6, 5)}","answer_b":"{(1, 1), (3, 3), (5, 5)}","answer_c":"{(2, 1), (3, 4), (5, 6)}","answer_d":"{(1, 2), (3, 4), (5, 6)}","correctAnswer":"a","explanation":"برای به دست آوردن وارون یک تابع که به صورت مجموعه زوج مرتب است، جای مولفه های اول و دوم را عوض می کنیم.","difficulty":1,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"وارون تابع"}},{"id":453,"questionText":"اگر $[x]$ نماد جزء صحیح باشد، حاصل $[3.14] + [-2.1]$ کدام است؟","answer_a":"0","answer_b":"1","answer_c":"-1","answer_d":"2","correctAnswer":"a","explanation":"$[3.14] = 3$ و $[-2.1] = -3$. حاصل جمع $3 + (-3) = 0$ می شود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع جزء صحیح"}},{"id":454,"questionText":"کدام یک از توابع زیر با تابع $f(x) = x$ برابر است؟","answer_a":"$g(x) = x^2\/x$","answer_b":"$g(x) = (√x)^2$","answer_c":"$g(x) = √x^2$","answer_d":"$g(x) = x$ با دامنه تمام اعداد حقیقی","correctAnswer":"d","explanation":"دو تابع زمانی برابرند که دامنه و ضابطه یکسان داشته باشند. در گزینه a دامنه شامل صفر نیست، در b و c دامنه یا ضابطه متفاوت است (مثلا $√x^2 = |x|$).","difficulty":3,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"برابری توابع"}},{"id":455,"questionText":"نمودار تابع $f(x) = -x^2 + 4x$ یک سهمی است که دهانه آن به کدام سمت است؟","answer_a":"بالا","answer_b":"پایین","answer_c":"راست","answer_d":"چپ","correctAnswer":"b","explanation":"چون ضریب $x^2$ منفی است (عدد -1)، دهانه سهمی به سمت پایین باز می شود.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع سهمی"}},{"id":456,"questionText":"در تابع پله ای $f(x) = [x]$، مقدار $f(√5)$ کدام است؟","answer_a":"2","answer_b":"3","answer_c":"2.23","answer_d":"1","correctAnswer":"a","explanation":"چون $√5$ تقریبا برابر 2.23 است، جزء صحیح آن برابر 2 می شود.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع جزء صحیح"}},{"id":457,"questionText":"اگر $f(x) = [x] + [-x]$ باشد، برد تابع f کدام است؟","answer_a":"{0}","answer_b":"{0, -1}","answer_c":"{-1}","answer_d":"Z","correctAnswer":"b","explanation":"اگر x عدد صحیح باشد حاصل صفر و اگر x عدد غیر صحیح باشد حاصل -1 می شود.","difficulty":3,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع جزء صحیح"}},{"id":458,"questionText":"در تابع سهمی $f(x) = x^2 - 2x + 5$، مختصات راس سهمی کدام است؟","answer_a":"(1, 4)","answer_b":"(-1, 8)","answer_c":"(1, 5)","answer_d":"(2, 5)","correctAnswer":"a","explanation":"$x = -b\/2a = 2\/2 = 1$. با جایگذاری در تابع $f(1) = 1-2+5 = 4$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع سهمی"}},{"id":459,"questionText":"اگر $f(x) = 5$ و $g(x) = x$ باشد، حاصل $g(f(10))$ کدام است؟","answer_a":"10","answer_b":"5","answer_c":"50","answer_d":"15","correctAnswer":"b","explanation":"$f(10) = 5$ (تابع ثابت). سپس $g(5) = 5$ (تابع همانی).","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":11,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع ثابت و همانی"}},{"id":460,"questionText":"دامنه تابع $f(x) = {√{x-1}}\/{x-3}$ کدام است؟","answer_a":"[1, +∞)","answer_b":"[1, 3) یا (3, +∞)","answer_c":"R - {3}","answer_d":"(3, +∞)","correctAnswer":"b","explanation":"شرط رادیکال $x ≥ 1$ و شرط مخرج $x ≠ 3$ است. اشتراک این دو بازه گزینه b است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دامنه و برد"}},{"id":461,"questionText":"اگر تابع $f(x) = ax + b$ یک تابع همانی باشد، $a + b$ کدام است؟","answer_a":"0","answer_b":"1","answer_c":"2","answer_d":"-1","correctAnswer":"b","explanation":"در تابع همانی باید $a=1$ و $b=0$ باشد. پس $a+b=1$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"},{"grade":11,"major":"انسانی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"تابع ثابت و همانی"}},{"id":462,"questionText":"اگر $(f+g)(x) = 5x+1$ و $f(x) = 2x-3$ باشد، ضابطه $g(x)$ کدام است؟","answer_a":"3x+4","answer_b":"7x-2","answer_c":"3x-4","answer_d":"3x-2","correctAnswer":"a","explanation":"$g(x) = (f+g)(x) - f(x) = (5x+1) - (2x-3) = 3x+4$.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"انسانی"},{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"اعمال روی توابع"}},{"id":463,"questionText":"کدام یک از توابع زیر در تمام دامنه اش معکوس پذیر است؟","answer_a":"$f(x) = x^2$","answer_b":"$f(x) = |x|$","answer_c":"$f(x) = 2x+3$","answer_d":"$f(x) = 5$","correctAnswer":"c","explanation":"توابع یک به یک معکوس پذیرند. تابع خطی (غیر ثابت) همواره یک به یک است.","difficulty":2,"grade":[{"grade":11,"major":"تجربی"},{"grade":11,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"وارون تابع"}},{"id":464,"questionText":"اگر $f(x) = x^2 - 1$ باشد، دامنه تابع $f(√x)$ کدام است؟","answer_a":"R","answer_b":"[0, +∞)","answer_c":"R - {0}","answer_d":"[-1, 1]","correctAnswer":"b","explanation":"چون x زیر رادیکال با فرجه زوج قرار گرفته است، باید $x ≥ 0$ باشد.","difficulty":2,"grade":[{"grade":12,"major":"تجربی"},{"grade":12,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"دامنه و برد"}},{"id":465,"questionText":"در تابع $f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}$ مقدار $f(f(1))$ کدام است؟","answer_a":"2","answer_b":"3","answer_c":"4","answer_d":"1","correctAnswer":"b","explanation":"$f(1) = 2$ است، پس $f(f(1)) = f(2) = 3$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مقدار تابع"}},{"id":466,"questionText":"اگر $f(x) = 3x-2$ باشد، مقدار $x$ به ازای $f(x) = 7$ کدام است؟","answer_a":"3","answer_b":"2","answer_c":"1","answer_d":"4","correctAnswer":"a","explanation":"$3x - 2 = 7$ نتیجه می دهد $3x = 9$ پس $x = 3$.","difficulty":1,"grade":[{"grade":10,"major":"انسانی"},{"grade":10,"major":"تجربی"},{"grade":10,"major":"ریاضی"}],"topic":{"subject":"ریاضی","season":"مقدار تابع"}}]}